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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 一道关于多重积分的应用题
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我不是神啊

铁虫 (初入文坛)

[求助] 一道关于多重积分的应用题 已有6人参与

如图，一个底面半径为R，母线与对称轴夹角为阿尔法的圆锥被一个与水平面夹角为贝塔的平面截取，交对称轴于O，求所截面的周长
一道关于多重积分的应用题
虽说想到了解析法。。。不过积分上遇到了困难，万望各位前辈不吝赐教。
PS，千万别用椭圆周长公式，光是证明截面是椭圆，想想就好麻烦2333
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1楼 2014-12-23 20:30:37
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

hank612

至尊木虫 (著名写手)
★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
feixiaolin: 金币+10 2014-12-29 14:51:50
引用回帖:
2楼: Originally posted by wurongjun at 2014-12-23 21:53:07
这个问题的实质就是椭圆弧长的计算!
所以''积分上遇到了困难''!你可以考虑数值解!一般情况下是没有解析解的!

关于截面的形状， 圆锥曲线是肯定的
http://en.wikipedia.org/wiki/Conic_section
因此 我认同 @wurongjun, @peterflyer, @陈义chenyi, 不赞同 @我不是神啊，@pippi6 的观点

我可以把3维中的曲线作个刚体变换到2维平面中，大家就熟悉了

我刚注意到楼主的角是从左母线到右母线的，比我公式中的角度大了一倍。为符号保持一致，让. 于是空间曲线在圆锥面交平面上， 其中XOY平面在圆锥底面上，即O点坐标(0,0,h).

如果要把平面通过刚体运动（正交变换加平移）变到XOY平面，可以考虑. 它是先将平面下降h,再绕X轴旋转角度得到。如果点(x,y,z)在平面上，那么.

如果我们想看看曲线在XOY上的新方程是什么， 就要考虑, 也就是先绕X轴旋转角度再将z平面上升h。

圆锥面新方程: . 限制在z=0 (XOY平面）上，为


于是大伙看清楚了：当时，曲线是椭圆； 当时，曲线是抛物线；
当时，曲线是双曲线（的一半）。

http://en.wikipedia.org/wiki/Ellipse 告诉我们椭圆周长要用到椭圆积分（不是初等函数）， 还是满足于数值解吧。
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We_must_know. We_will_know.
14楼2014-12-29 13:26:11
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
feixiaolin: 金币+10 2014-12-28 06:59:30
引用回帖:
8楼: Originally posted by A_Young1994 at 2014-12-24 16:20:41
关于“证明截面是椭圆”，其实这就是椭圆的一种几何定义，无需证明。同样地，用与对称轴平行的平面截出来的是抛物线，用与母线平行的平面截出来的是双曲线。

由于圆锥面方程为: , 平面截面(假设平行于X轴)方程为:, 所以三维曲线(以y为参数)为, 其中, y_min, y_max满足 .

所以周长L=

按照大伙的意见, 楼主还是努力找数值解吧.
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We_must_know. We_will_know.
9楼2014-12-25 03:44:47
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A_Young1994

新虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
关于“证明截面是椭圆”，其实这就是椭圆的一种几何定义，无需证明。同样地，用与对称轴平行的平面截出来的是抛物线，用与母线平行的平面截出来的是双曲线。
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8楼2014-12-24 16:20:41
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普通回帖

wurongjun

专家顾问 (职业作家)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
这个问题的实质就是椭圆弧长的计算!
所以''积分上遇到了困难''!你可以考虑数值解!一般情况下是没有解析解的!
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善恶到头终有报,人间正道是沧桑.
2楼2014-12-23 21:53:07
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我不是神啊

铁虫 (初入文坛)
引用回帖:
2楼: Originally posted by wurongjun at 2014-12-23 21:53:07
这个问题的实质就是椭圆弧长的计算!
所以''积分上遇到了困难''!你可以考虑数值解!一般情况下是没有解析解的!

不知能否一览过程？说实话我也不是学的非常认真orz
不胜感激
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3楼2014-12-23 21:57:16
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
这应该是个短轴为[R/tgα--h]*tgα=[R--h*tgα]、长轴为[R--h*tgα]/Cosβ的椭圆，其周长计算最后归结为一个是个椭圆积分，无法求精确解，只能求数值解。
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4楼2014-12-23 22:35:24
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陈义chenyi

金虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
椭圆周长无初等表达式！

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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1解放公园
5楼2014-12-23 23:50:54
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陈义chenyi

金虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

无a，b的初等表达式！
可能有α，β，R和h的初等表达式！突然想起来射影定理，有初等解！

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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1解放公园
6楼2014-12-24 00:00:34
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我不是神啊

铁虫 (初入文坛)
都说了。。。。还不能证明截面是椭圆啊。。。
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7楼2014-12-24 04:03:59
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我不是神啊

铁虫 (初入文坛)
引用回帖:
9楼: Originally posted by hank612 at 2014-12-25 03:44:47
由于圆锥面方程为: x^2+y^2=(R-z\tan{\alpha})^2, 平面截面(假设平行于X轴)方程为:z=y\tan{\beta}+h, 所以三维曲线(以y为参数)为(\sqrt{(R-h\tan{\alpha}-y\tan{\alpha}\tan{\beta})-y^2},y,y\tan{\beta}+h), 其中 ...

确实不是椭圆哈233
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10楼2014-12-27 22:35:45
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