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我不是神啊

铁虫 (初入文坛)

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[求助] 一道关于多重积分的应用题已有6人参与

如图，一个底面半径为R，母线与对称轴夹角为阿尔法的圆锥被一个与水平面夹角为贝塔的平面截取，交对称轴于O，求所截面的周长

虽说想到了解析法。。。不过积分上遇到了困难，万望各位前辈不吝赐教。
PS，千万别用椭圆周长公式，光是证明截面是椭圆，想想就好麻烦2333

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1楼 2014-12-23 20:30:37

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

hank612

至尊木虫 (著名写手)

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feixiaolin: 金币+10 2014-12-28 06:59:30

引用回帖:

8楼: Originally posted by A_Young1994 at 2014-12-24 16:20:41
关于“证明截面是椭圆”，其实这就是椭圆的一种几何定义，无需证明。同样地，用与对称轴平行的平面截出来的是抛物线，用与母线平行的平面截出来的是双曲线。

由于圆锥面方程为: $x^2+y^2=(R-z\tan{\alpha})^2$ , 平面截面(假设平行于X轴)方程为: $z=y\tan{\beta}+h$ , 所以三维曲线(以y为参数)为 $(\sqrt{(R-h\tan{\alpha}-y\tan{\alpha}\tan{\beta})-y^2},y,y\tan{\beta}+h)$ , 其中, y_min, y_max满足 $|y|= R-h\tan{\alpha}-y\tan{\alpha}\tan{\beta}$ .

所以周长L= $2\int_{\frac{R-h\tan{\alpha}}{\tan{\alpha}\tan{\beta}-1}}^{\frac{R-h\tan{\alpha}}{\tan{\alpha}\tan{\beta}+1}}\sqrt{1+\tan^2{\beta}+\frac{(\tan{\alpha}\tan{\beta}(R-y\tan{\alpha}\tan{\beta}-h\tan{\alpha})+y)^2}{(R-h\tan{\alpha}-y\tan{\alpha}\tan{\beta})^2-y^2}}dy$

按照大伙的意见, 楼主还是努力找数值解吧.