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lixuemei201

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[求助] 不变子空间问题

设数域f上n维线性空间v的线性变化A有n个不同的特征值，W是A的一个r维的不变子空间，证明A在W上的限制有r个不同特征值，并且为A的n个特征值中的r个

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1楼 2014-12-09 11:51:23

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hank612

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你可以从最小多项式角度来看题目.

让 $B=A|_W$ , 那么B的最小多项式g(x)整除A的最小多项式 $\prod_{i=1}^n(x-a_i)$ , 因此不妨设 $g(x)=\prod_{i=1}^k(x-a_i)$ , 由Hamilton-Cayley定理,最小多项式的次数小于等于特征多项式的次数, 所以k不会超过空间W的维数r.

如果k<r, 由于有直和分解 $W=\oplus_{i=1}^k Ker(B-a_i)$ , 那么必须有某个B(同时也是A的)特征值a_i, 使得 $dim(Ker(B-a_i))>1$ , 这和"A的特征值对应的子空间都是一维的"相矛盾.

所以B有恰好r个特征值, 并且都是A的特征值中的r个.

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We_must_know. We_will_know.

2楼2014-12-10 09:06:41

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lixuemei201

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2楼: Originally posted by hank612 at 2014-12-10 09:06:41
你可以从最小多项式角度来看题目.

让B=A|_W, 那么B的最小多项式g(x)整除A的最小多项式\prod_{i=1}^n(x-a_i), 因此不妨设g(x)=\prod_{i=1}^k(x-a_i), 由Hamilton-Cayley定理,最小多项式的次数小于等于特征多项式的 ...

B的最小多项式能整除A的最小多项式，感觉缺少了点理论支撑，这里头应该是否某个定理？基的改变不改变线性变换的特征值吗？

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3楼2014-12-10 12:49:13

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hank612

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3楼: Originally posted by lixuemei201 at 2014-12-10 12:49:13
B的最小多项式能整除A的最小多项式，感觉缺少了点理论支撑，这里头应该是否某个定理？基的改变不改变线性变换的特征值吗？
...

什么是线性变换A的最小多项式f(x)？
(1)f(A)(v)=0,对于任意向量v。 (2) f 首一,次数最小。
这样一来，如果另有多项式h(x)满足h(A)(v)=0, 那么f(x)|h(x).

如果 f(A)(v)=0, 现在任取w在W中， f(B)(w)=f(A)(w)=0, 所以 f(x)是B的最小多项式g(x)的倍数, 即 g(x)|f(x). 纯定义。

还有，线性变换A的特征值是线性变换结合线性空间的（宏观）不变量，跟基的选取无关。相似的矩阵（对应不同的基）有相同的特征值！

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lixuemei201

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4楼2014-12-10 13:28:00

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4楼: Originally posted by hank612 at 2014-12-10 13:28:00
什么是线性变换A的最小多项式f(x)？
(1)f(A)(v)=0,对于任意向量v。 (2) f 首一,次数最小。
这样一来，如果另有多项式h(x)满足h(A)(v)=0, 那么f(x)|h(x).

如果 f(A)(v)=0, 现在任取w在W中， f(B)(w)=f(A)(w) ...

懂了。感谢

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5楼2014-12-10 15:21:49

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6楼2014-12-10 15:22:56

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