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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 双曲线与双曲函数什么关系？
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eastsunsong

金虫 (著名写手)

[求助] 双曲线与双曲函数什么关系？ 已有5人参与

双曲线可以用双曲函数来表示？  为什么当初高数就没讲双曲函数呢？
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大校
1楼 2014-12-07 23:10:44
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

工程和科学数值计算咨询

【答案】应助回帖

★ ★
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eastsunsong(feixiaolin代发): 金币+2 2014-12-08 23:16:20
我觉得与其说“双曲线可以用双曲函数来表示” 还不如说 “双曲函数的轨迹是双曲线”，当然是在如下的意义上： 让 x=cosh（t）， y=sinh（t），那么 x^2-y^2=1， 而这是一个双曲线。
但除了这个，我还没看出来双曲函数和双曲线还有别的什么关系。 在三角函数的情形， x=cos（t）， y=sin（t），x和y是有几何意义的；但是x=cosh（t）， y=sinh（t）这个表达式缺乏直接的几何含义。所以，我以为lz不必太介意双曲这一称呼。双曲函数和三角函数本质上都是指数函数，从而反函数log和arctan有着密切关系，这层意思依我看要重要的多。高等数学作为一个基础课程不强调双曲函数名称的来源是可以理解的。
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3楼2014-12-07 23:59:07
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小爷不狂91

禁虫 (著名写手)
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5楼2014-12-08 00:38:14
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主
双曲函数可以看作是三角函数的延伸，在复数域内，二者可以相互转化。当然有难度了。
在实数域，双曲函数可以做双曲线的参数方程，别的暂未接触到。
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6楼2014-12-08 11:22:15
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修竹依米

木虫 (小有名气)

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★ ★
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eastsunsong(feixiaolin代发): 金币+2 2014-12-08 23:16:45
1 exp(x)没有奇偶性  但是将其分解为cosh(x)+sinh(x) 可以得到其奇偶部分--对应的解释为信号的奇偶分离
2 cosh(x),sinh(x)的反函数的导数是常见的根式sqrt(x^2-1),sqrt(x^2+1);
3计算积分sqrt(x^2-1),sqrt(x^2+1)可以采用换元：x=cosh(t),x=sinh(t);
希望有所帮助
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7楼2014-12-08 22:52:20
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普通回帖

挑大粪的

新虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★
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eastsunsong(feixiaolin代发): 金币+1 2014-12-08 23:16:12
高中时学的圆锥曲线里包括双曲线，由平行于轴心线的平面和圆锥相交所得。

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2楼2014-12-07 23:15:43
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

★ ★
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eastsunsong(feixiaolin代发): 金币+2 2014-12-08 23:16:30
双曲线和双曲函数不是一回事。后者是自然数为底指数函数的复合函数。
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4楼2014-12-07 23:59:53
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修竹依米

木虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★
eastsunsong(feixiaolin代发): 金币+1 2014-12-08 23:16:53
顺便：课堂讲授cosh(x),sinh(x)也是可以的--
从exp(x)的奇偶分解 到由y=ln(x+sqrt(x^2+1))推出x=sinh(y)
取决于老师如何理解和取舍
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8楼2014-12-08 22:58:26
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Terrific

新虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

★ ★
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eastsunsong(feixiaolin代发): 金币+2 2014-12-09 17:38:56
双曲线、双曲函数、双曲几何这些名词不是随便起的，有其内在联系。
用双曲函数表示双曲线有几何意义，这要在双曲几何下看。
正的常高斯曲率曲面最简单、典型的例子就是球面，与之类似的负常高斯曲率曲面就是所谓的庞加莱模型。给一个平面坐标系，定义内积(a,b)·(c,d)=ac-bd。考虑曲线p·p=-1，其中p是一个点或者说一个向量。这个曲线“看起来”是一个双曲线，而它的弧长参数方程恰好是双曲函数，注意，是弧长参数。在这个平面上，双曲函数的地位和欧式几何中三角函数有点像。

双曲函数高数中似乎没啥大用，所以没讲。
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9楼2014-12-09 12:21:49
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rhete

新虫 (初入文坛)
我也想知道，双曲线可以用双曲函数的参数方程表示，也有一定的几何意义，利用定积分可以求得第一象限一点与原点的连线和双曲线图形还有x轴构成的曲线三角形的面积与用双曲函数的参数有关，设某双曲线x=ach

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10楼2016-09-21 18:52:53
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