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如何分析下面三层差分格式的收敛性？ |
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zaq123321
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【答案】应助回帖
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| Suppose this is the Richardson scheme for diffusion equation and it's a consistent scheme. According to Lax equivalence theorem, the stability of this scheme is equivalent to the convergence. It has been proved that the scheme is not stable, thus not convergent. See the example 3.4 in the second edition of Numerical solution of PDE by Lu Jinfu and Guan Zhi. |
2楼2014-11-28 21:36:23
我要飞
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3楼2014-11-29 08:38:23
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feixiaolin: 屏蔽内容, 笔误。修正后见5楼 2014-11-29 13:58:41
feixiaolin: 应助指数-1 2014-11-29 13:59:19
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4楼2014-11-29 13:40:46
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5楼2014-11-29 13:54:03
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6楼2014-11-29 17:07:01
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7楼2014-11-29 19:40:54
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8楼2014-11-30 08:22:22
pippi6
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好吧，你想从收敛的定义来而不是Lax equivalence theorem 判断此格式不收敛。 不去咬文嚼字，收敛性的定义大致就是离散解uh逼近精确解u，当dt和tdx趋于零时。 我们知道原始解析方程的精确解一定是有界的，因为diffusion operator F 的所有的特征值都是纯实数小于零。事实上，对于一类边界条件，u最终会变成一条直线，这里就不详细证明了。可是，leap-frog scheme 的离散特征值lambda显然有大于零的实部，因为我们在楼上实际上是证明了 r = exp (lambda dt) 的绝对值大于零，也就是lambda有大于零的实部。那么就是说，uh(t) 会指数增长; 从而不会收敛到一个有界的精确解u(t)。这就证明了uh(t)是不收敛的。线性数值稳定性分析无非就是看离散谱点如何近似于精确谱点。 事实上，Lax equivalence theorem 有相当的建设性。因为，如果证明了不稳定性，也就是知道不稳定的数值特征值（很多线性稳定性分析都是直接找到增长的离散谱点）。增长率就决定了发散的速率。所以知道不稳定，就知道不收敛的方式，包括空间震荡（特征函数）的具体形式。不知道这是你不是你说的“收敛性的详细过程”。 |
9楼2014-11-30 09:37:12