【答案】应助回帖

11楼2014-11-22 17:04:52

我要飞

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如果不考虑特例，能不能给出第一问的详细解答？

12楼2014-11-22 17:06:50

我要飞

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引用回帖:

4楼: Originally posted by 终之太刀—晓 at 2014-11-21 18:03:43
对第九大题的第一小题，还是尚有疑问之处：
比如取f(x)=x，初值x_1=1, 那么得到的序列x_n=1就不是严格单调的吧；
取g(x)=1/x,初值x_1=1, 那么得到的序列x_n=1也不是严格单调的。

如果不考虑特例，能不能给出第一问的详细解答？

13楼2014-11-22 18:13:16

终之太刀—晓

铁杆木虫 (著名写手)

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
我要飞: 金币+10 2014-11-23 10:34:38

引用回帖:

13楼: Originally posted by 我要飞 at 2014-11-22 18:13:16
如果不考虑特例，能不能给出第一问的详细解答？...

假定x_2=f(x_1)>x_1成立，那么可以根据数学归纳法，设n=k,k>=1时命题成立，即就是x_(k+1)>x_k. 则当n=k+1时，
x_(k+2)-x_(k+1)=f(x_(k+1))-f(x_k)>0. (Sample Text）故命题也成立。
所以{x_n}严格递增。对于x_2<x_1的情形，类似地可证得{x_n}严格递减。

第二小问也用类似的做法即可。

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14楼2014-11-22 19:02:57

peterflyer

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

对于第一问：
因为f(x)在区间在区间I上严格单调递增，
因此：
若x(n+1)=f[x(n)]>x(n)
      则x(n+2)=f[x(n+1)]>f{x(n)]}=x(n+1)
      由于n取值的任意性，因此数列是单调递增的
若x(n+1)=f[x(n)]<x(n)
      则x(n+2)=f[x(n+1)]<f{x(n)]}=x(n+1)
      由于n取值的任意性，因此数列是单调递减的。

15楼2014-11-23 08:44:56

终之太刀—晓

铁杆木虫 (著名写手)

引用回帖:

14楼: Originally posted by 终之太刀—晓 at 2014-11-22 19:02:57
假定x_2=f(x_1)>x_1成立，那么可以根据数学归纳法，设n=k,k>=1时命题成立，即就是x_(k+1)>x_k. 则当n=k+1时，
x_(k+2)-x_(k+1)=f(x_(k+1))-f(x_k)>0. (Sample Text）故命题也成立。
所以{x_ ...

@我要飞

16楼2014-11-23 08:50:10