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nbwhjf000新虫 (小有名气)
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看了“无穷个无穷小乘积为什么不是无穷小？”的帖子后 已有11人参与
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原帖15楼给出了一个反例，迷惑了很多人，但是这个反例实际上是错误的。 第一个因子：a1= 1×1/2 ×1/3 ×1/4× 1/5×1/6×… 第二个因子：a2= 1×2^1 ×1/3 ×1/4× 1/5×1/6×... 第三个因子：a3= 1×1 ×3^2 ×1/4× 1/5×1/6×... 第四个因子：a4= 1×1 ×1 ×4^3× 1/5×1/6×... ...... 第m个因子：am= 1×1 ×1 ×1 ×1 ×1 ×...× m^(m-1) × 1/(m+1) × 1/(m+2) × 1/(m+3) ×... 当m为有限值时，这些因子都是无穷小量。 这些因子的乘积是 1×1×1×1×1×1×1×...... 表面上看起来没什么问题，但实际上我们来看，这些因子的乘积究竟是什么？ a1 × a2 × a3 × a4 ×...× am =1×1×1×1×1×1×...× m^(m-1) × 1/(m+1)^m × 1/(m+2)^m × 1/(m+3)^m × ...... = 1×1×1×1×1×1×...× m^(m-1) × [1/(m+1) × 1/(m+2) × 1/(m+3) × ......]^m = 1×1×1×1×1×1×...× [m^(m-1) × 1/(m+1) × 1/(m+2) × 1/(m+3) ×......] × [1/(m+1) × 1/(m+2) × 1/(m+3) × ......]^(m-1) =am × [1/(m+1) × 1/(m+2) × 1/(m+3) × ......]^(m-1) 注意当m趋向于无穷大时，上式的后半部分 [1/(m+1) × 1/(m+2) × 1/(m+3) × ......]^(m-1) 是无穷小量。 ①若这个乘积趋向于1, 则am 趋向于无穷大。此时就不能说所有因子为无穷小。 ②若am确实是无穷小量，则两个无穷小量的乘积必是无穷小量。则其乘积就不趋向于1。 |
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