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nbwhjf000新虫 (小有名气)
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看了“无穷个无穷小乘积为什么不是无穷小？”的帖子后 已有11人参与
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原帖15楼给出了一个反例，迷惑了很多人，但是这个反例实际上是错误的。 第一个因子：a1= 1×1/2 ×1/3 ×1/4× 1/5×1/6×… 第二个因子：a2= 1×2^1 ×1/3 ×1/4× 1/5×1/6×... 第三个因子：a3= 1×1 ×3^2 ×1/4× 1/5×1/6×... 第四个因子：a4= 1×1 ×1 ×4^3× 1/5×1/6×... ...... 第m个因子：am= 1×1 ×1 ×1 ×1 ×1 ×...× m^(m-1) × 1/(m+1) × 1/(m+2) × 1/(m+3) ×... 当m为有限值时，这些因子都是无穷小量。 这些因子的乘积是 1×1×1×1×1×1×1×...... 表面上看起来没什么问题，但实际上我们来看，这些因子的乘积究竟是什么？ a1 × a2 × a3 × a4 ×...× am =1×1×1×1×1×1×...× m^(m-1) × 1/(m+1)^m × 1/(m+2)^m × 1/(m+3)^m × ...... = 1×1×1×1×1×1×...× m^(m-1) × [1/(m+1) × 1/(m+2) × 1/(m+3) × ......]^m = 1×1×1×1×1×1×...× [m^(m-1) × 1/(m+1) × 1/(m+2) × 1/(m+3) ×......] × [1/(m+1) × 1/(m+2) × 1/(m+3) × ......]^(m-1) =am × [1/(m+1) × 1/(m+2) × 1/(m+3) × ......]^(m-1) 注意当m趋向于无穷大时，上式的后半部分 [1/(m+1) × 1/(m+2) × 1/(m+3) × ......]^(m-1) 是无穷小量。 ①若这个乘积趋向于1, 则am 趋向于无穷大。此时就不能说所有因子为无穷小。 ②若am确实是无穷小量，则两个无穷小量的乘积必是无穷小量。则其乘积就不趋向于1。 |
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11楼2014-11-03 19:49:59
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小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
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重新看了一下原帖。 人家写的没错，是楼主自己歪曲了原意。 修竹依米 新虫 (初入文坛) 应助: 7 (幼儿园) 金币: 68.5 红花: 2 帖子: 50 在线: 12.5小时 虫号: 3312435 注册: 2014-07-08 性别: GG 专业: 计算数学与科学工程计算 引用回帖: 4楼: Originally posted by 柳清 at 2014-10-31 10:58:20 无穷个无穷小的乘积肯定是无穷小！可以两边夹定理证明的！ 这个真证明不了 给出一个反例 如下 1 1/2 1/3 1/4 ...1/n ... 是一个无穷小 1 2 1/3 1/4 ...1/n ...是一个无穷小 1 1 3^2 1/4 ...1/n ...是一个无穷小 1 1 1 4^3 ...1/n ...是一个无穷小 ....... 如此构造的 无限多个无穷小 其乘积是 1 1 1 1....... |
13楼2014-11-03 19:59:43