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fanbao_keke

铁虫 (正式写手)

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[求助] 求高人帮忙，一个关于Bessel 函数J_m(z)求和公式

求高人帮忙，一个关于Bessel 函数J_m(z)求和公式，我不知是怎么来的，是否是对的？求指教？
即：Sum[(J_m(z))^2 m^2]=z^2/2

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1楼 2014-10-26 19:17:55

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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fanbao_keke(feixiaolin代发): 金币+6 2014-10-31 07:41:50

楼主, http://en.wikipedia.org/wiki/Bessel_function
上面有Bessel 函数的Fourier 级数定义方式: $e^{iz\sin{\theta}}=\sum_{n=-\infty}^{\infty} J_n(z)e^{in\theta}$ ,

对 $\theta$ 求导, 得到Fourier级数 $iz\cos{\theta} e^{iz\sin{\theta}}=\ sum_{n=-\infty}^{\infty} inJ_n(z)e^{in\theta}$ .

根据Parseval的能量守恒定理, 得到
$\frac{1}{2\pi}\int_{\theta=-\pi}^{\pi}|iz\cos{\theta}e^{iz\sin{\theta}}|^2 d\theta=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|inJ_n(z)|^2$

在假定z是实数的情况下, $|e^{iz\sin{\theta}}|=1$ , 积分变成(左右对调一下)
$\sum_{n=-\infty}^{\infty} n^2{J_n(z)}^2=\frac{1}{\pi}\int_{\theta=0}^{\pi} z^2\cos^2{\theta} d\theta=\frac{z^2}{2}$

由于证明只是一句话而已, 很多时候很多文献压根都不想浪费笔墨和时间,直接告诉结论了.