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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 计算数学 » 三维空间点到直线的距离
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L_先森

新虫 (初入文坛)

[求助] 三维空间点到直线的距离 已有2人参与

假如我知道三维空间中圆柱体两个端面上的两个圆心点X{x1,y1,z1}和Y{x2,y2,z2}，圆柱体半径为R，我有什么办法可以判断空间中的其他点是否在这个圆柱体所包围的空间里？本人数学不太好，哪位大神知道的，请细细讲解，最好有相关的资料可以分享一下，谢谢！！
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1楼 2014-09-28 19:24:48
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liuqh

铁杆木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
设第三点P(x,y,z)
d=|(XP)x(XY)/|(XY)||
l=(XP)*(XY)/|(XY)|<|
d<R且0<l<|XY|则P在圆柱体内
解释：
向量XY单位化，与向量XP做矢量积
求矢量积的长度，此为P到轴线的距离
l为P到轴线的投影
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2楼2014-09-28 19:56:16
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L_先森

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
2楼: Originally posted by liuqh at 2014-09-28 19:56:16
设第三点P(x,y,z)
d=|(XP)x(XY)/|(XY)||
l=(XP)*(XY)/|(XY)|<|
d<R且0<l<|XY|则P在圆柱体内
解释：
向量XY单位化，与向量XP做矢量积
求矢量积的长度，此为P到轴线的距离
l为P到轴线的投影

我想问一下：
1、d=|(XP)x(XY)/|(XY)||中是分母向量（XY）单位化后与向量（XP）做矢量积，分母为向量（XY）的模，不是1吧？就是直线XY的长度。
2、l=(XP)*(XY)/|(XY)|<|中分母也是向量（XY）的模，即直线XY的长度？
该式子后面<1？是指小于一么？
3、0<l<|XY|中是指l大于0，小于直线XY的长度？
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3楼2014-09-29 10:32:48
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

★ ★
感谢参与，应助指数 +1
L_先森(feixiaolin代发): 金币+2 2014-10-01 10:53:24
这个问题好解决！
圆柱体轴线L的方程为：
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)=(z-z1)/(z2-z1)                          (1)
设空间任一点的坐标为A(ξ,η,ζ) ，由其向轴线L作垂直平面π，交直线于P点，设它到圆柱体轴线L的距离为δ,则δ=ABS(AP)。平面π的法向矢量就为直线L的方向矢量｛x2-x1,y2-y1,z2-z1｝，它的方程为：
(x2-x1)*(x-x1)+(y2-y1)*(y-y1)+(z2-z1)*(z-z1)=0                      (2)      
联立（1）、（2），解出xP、yP、zP的数值，而：
δ=ABS(AP)=SQRT{(xP-xA)^2+(yP-yA)^2+(zP-zA)^2}
   =SQRT{(xP-ξ)^2+(yP-η)^2+(zP-ζ)^2}
若 δ<R,则A在圆柱面内部；δ=R,则A在圆柱面上；δ>R,则A在圆柱面外部。
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4楼2014-09-29 10:36:35
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liuqh

铁杆木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★
L_先森(feixiaolin代发): 金币+2 2014-10-01 10:53:41
引用回帖:
3楼: Originally posted by L_先森 at 2014-09-29 10:32:48
我想问一下：
1、d=|(XP)x(XY)/|(XY)||中是分母向量（XY）单位化后与向量（XP）做矢量积，分母为向量（XY）的模，不是1吧？就是直线XY的长度。
2、l=(XP)*(XY)/|(XY)|<|中分母也是向量（XY）的模，即直线XY的 ...

1. 是的；
2. 式子后部的<|是笔误，因为应助贴不能修改；
3. 是的，特别提一下，当l<0时，点也在圆柱体外的。
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5楼2014-09-29 10:57:12
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L_先森

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
5楼: Originally posted by liuqh at 2014-09-29 10:57:12
1. 是的；
2. 式子后部的<|是笔误，因为应助贴不能修改；
3. 是的，特别提一下，当l<0时，点也在圆柱体外的。...

d=|(XP)x(XY)/|(XY)||中，向量（XY）不经过单位化，直接用向量（XY）进行运算应该也可以吧？
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6楼2014-09-29 18:46:54
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liuqh

铁杆木虫 (正式写手)
引用回帖:
6楼: Originally posted by L_先森 at 2014-09-29 18:46:54
d=|(XP)x(XY)/|(XY)||中，向量（XY）不经过单位化，直接用向量（XY）进行运算应该也可以吧？...

应该不可以，算出来的值会相差一个圆柱高度的倍数，关于这一点可以用Y点直接验证
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7楼2014-09-29 18:54:24
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主
点到直线距离的三维扩展。
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8楼2014-10-01 10:53:04
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