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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

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[交流] 一个通项数列的无理性判别已有1人参与

问题A 设有数列：

$x_n=\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+\cdots+\sqrt{n}}}}(n\geqslant 1)$

试证： $x_n(n\geqslant 2)$ 都是无理数。

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

1楼 2014-06-28 05:22:51

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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性别: GG
专业: 理论和计算化学

★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖

如果xn 是有理数，那么
$a_n=\sqrt{n-1+\sqrt{n}}=((x^2-1)^2-2\cdot )^2-(n-2)$ 仍然是有理数。

如果n不是完全平方数，那 a_n不会是有理数；可如果n=m^2是完全平方数，怎么证明 $\sqrt{ m^2+m-1}\notin \mathbb{Q}?$

We_must_know. We_will_know.

2楼2014-06-28 09:34:58

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