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Kinian新虫 (小有名气)
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[求助]
求助计算平面映射的问题
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问题如下：  首先，我想知道这个映射是不是存在。 如果存在，是什么，k是参数，比如k取0.6，可以得到一个映射，取其它值可能得到另一个映射。 这个问题我感觉应该有人研究过，所以文献或书籍中有可能会有相关的内容，但是我不太了解这方面的问题，所以有研究相关问题的同学请指点一下。 另外，这个问题可以换一种提法（更强的条件）： 去掉条件（2），增加新的条件（6）： （6） 对∀y，g(1,y)=δ(y)；δ(y)为一个给定的函数，要求δ(0)=0，δ(1)=1，0≤δ(y)≤1。 例如我们取δ(y)=y^2，求满足条件（1），（3）~（6）的f(x,y)和g(x,y)。 |
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我知道这种映射一定存在,但具体表达式写不出来. 首先定义T1:两条直线上(x,x)--> (x+k*x*(1-x), x+k*x*(1-x)), (x,0)-->(x+k*x*(1-x),0). 在角平分线L1上定义 这样的定义满足: 三角形面积(0,0), (x, (\sqrt{2}-1)x), (x,0) = 三角形面积(0,0), T1(x, (\sqrt{2}-1)x), T1(x,0), 并且三角形面积(0,0), (x, (\sqrt{2}-1)x), (x,x) = 三角形面积(0,0), T1(x, (\sqrt{2}-1)x), T1(x,x). 最难的一步已经迈出, 剩下的就是重复第一步, 然后取极限就好了. 你可以在三角形 (0,0), (x, (\sqrt{2}-1)x), (x,0) 的角平分线L21上定义映射T2, 使得保持面积; (啰嗦两句, 设L21交线段 (x, (\sqrt{2}-1)x), (x,0) 于M, 那么T2(M)= (L21上一点N), 使得: 三角形面积(0,0), M , (x,0) = 三角形面积(0,0), N, T1(x,0). [这个N点必然使得: 三角形面积(0,0), M , (x, (\sqrt{2}-1)x) = 三角形面积(0,0), N, T1(x, (x, (\sqrt{2}-1)x).] 同时在三角形 (0,0), (x, (\sqrt{2}-1)x), (x,x) 的角平分线L22上如法炮制定义映射T2, 依然保持面积. 这样一来, 当然, T1的定义其实相当任意, 比如 (x,x) --> (x+k*sin(pi*x), x+k*sin(pi*x)), (x,0)--> (x+k*sin(pi*x), 0).总之满足要求的映射大把大把的. |
6楼2014-07-04 07:11:22
Kinian
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