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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 概率论与统计 » 对于随机变量X1,...Xn，它们之间两两独立不能推出X1,...Xn是相互独立的？
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shy1992331

新虫 (小有名气)

[交流] 对于随机变量X1,...Xn，它们之间两两独立不能推出X1,...Xn是相互独立的？

一般而言，对于随机变量X1,...Xn，它们之间两两独立不能推出X1,...Xn是相互独立的，那么如果X1,...Xn是正态分布的话X1,...Xn之间两两独立能推出X1,...Xn是相互独立的吗？如果能，是为什么啊？
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1楼2014-04-05 15:53:01
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math2000

铁杆木虫 (职业作家)
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shy1992331: 金币+1 2014-04-07 20:18:51
如果（X1,...Xn）是联合正态的话，则它们两两独立可以推出它们相互独立：证明很简单：
因为（X1,...Xn）联合正态，设为N(A,B)其中A是（X1,...Xn）的期望向量，B是（X1,...Xn）的协方差矩阵，
因为X1,...Xn两两独立，所以协方差矩阵是对角阵，所以X1,...Xn相互独立
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2楼2014-04-05 21:12:59
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txg130118

新虫 (小有名气)
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2楼: Originally posted by math2000 at 2014-04-05 21:12:59
如果（X1,...Xn）是联合正态的话，则它们两两独立可以推出它们相互独立：证明很简单：
因为（X1,...Xn）联合正态，设为N(A,B)其中A是（X1,...Xn）的期望向量，B是（X1,...Xn）的协方差矩阵，
因为X1,...Xn两两独立 ...

协方差矩阵是对角阵得到相互独立仍然是个结论啊，跟楼主的疑问没啥本质区别吧，纯属个人意见
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3楼2014-04-05 22:52:34
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math2000

铁杆木虫 (职业作家)
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3楼: Originally posted by txg130118 at 2014-04-05 22:52:34
协方差矩阵是对角阵得到相互独立仍然是个结论啊，跟楼主的疑问没啥本质区别吧，纯属个人意见...

只能说明你对正态分布的定义以及随机变量相互独立的定义一无所知。回去看看再来发布意见！
不懂就不要出来发布献丑
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4楼2014-04-06 11:58:06
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txg130118

新虫 (小有名气)
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4楼: Originally posted by math2000 at 2014-04-06 11:58:06
只能说明你对正态分布的定义以及随机变量相互独立的定义一无所知。回去看看再来发布意见！
不懂就不要出来发布献丑...

楼主应该是本科生准备考研的，你问问他协方差矩阵是对角阵得到相互独立看他是不是很理解，联合概率分布用协方差矩阵表示应该是研究生的随机过程课程里的吧，不要以为你是学数学的就以为高大上了
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5楼2014-04-06 12:35:36
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
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对于随机变量X1,...Xn，它们之间两两独立不能推出X1,...Xn是相互独立的？
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6楼2014-04-06 15:17:36
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math2000

铁杆木虫 (职业作家)
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5楼: Originally posted by txg130118 at 2014-04-06 12:35:36
楼主应该是本科生准备考研的，你问问他协方差矩阵是对角阵得到相互独立看他是不是很理解，联合概率分布用协方差矩阵表示应该是研究生的随机过程课程里的吧，不要以为你是学数学的就以为高大上了...

回去看看多元正态分布的定义和多维随机变量相互独立的定义再来说.
不客气地说，在概率方面肯定比你高大上！
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7楼2014-04-06 21:05:31
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math2000

铁杆木虫 (职业作家)
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6楼: Originally posted by Pchief at 2014-04-06 15:17:36

楼主问的是（X1，X2，...，Xn）是联合正态的情形，楼上给出的反例只是说明多个随机变量两两独立推不出相互独立。
对一般的多维随机变量，多个随机变量两两独立肯定推不出相互独立。这样的反例很多 。
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8楼2014-04-06 21:07:55
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shy1992331

新虫 (小有名气)
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2楼: Originally posted by math2000 at 2014-04-05 21:12:59
如果（X1,...Xn）是联合正态的话，则它们两两独立可以推出它们相互独立：证明很简单：
因为（X1,...Xn）联合正态，设为N(A,B)其中A是（X1,...Xn）的期望向量，B是（X1,...Xn）的协方差矩阵，
因为X1,...Xn两两独立 ...

协方差矩阵是对角阵，所以X1,...Xn相互独立用的是联合分布等于各自分布乘积的结论吗？
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9楼2014-04-07 20:18:05
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
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我看 LZ 没说 X1, ... , Xn 服从联合正态分布啊，至少没明确说吧。

我这个例子只是说明由每一个边缘分布都正态，哪怕再加上两两独立，也无法推出整体独立（甚至无法推得联合分布是联合正态）。

好吧，等 LZ 来给个说法
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10楼2014-04-08 10:05:17
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