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lypku

新虫 (小有名气)

[求助] 求助大神 已有3人参与

怎样证明单位圆内接正n边形（n≥7）不能用6个直径为1的圆覆盖？
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1楼 2014-03-05 20:21:23
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主
需要证明n边形的的边心距>相邻两个小圆的交点到圆心的距离。

[ Last edited by feixiaolin on 2014-3-6 at 07:15 ]
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2楼2014-03-05 23:35:40
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苏沉e

木虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
单位圆半径为1，内接正n边形时可从圆心向n个顶点引n条线段等于半径1，而6个直径为1圆最多可以覆盖6条不重合的线段（圆内最长的距离就是直径啊），因为从圆心所引的n条线段的其中一个端点是重合的（另一个端点在单位圆圆周上），所以要覆盖几条线段就要几个直径1的圆，那么当n大于等于7时，必定有n-6条线段无法被覆盖，则对应的正n边形剩下的那n-6个角自然就无法被覆盖了。
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3楼2014-03-05 23:57:29
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苏沉e

木虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

引用回帖:
3楼: Originally posted by 苏沉e at 2014-03-05 23:57:29
单位圆半径为1，内接正n边形时可从圆心向n个顶点引n条线段等于半径1，而6个直径为1圆最多可以覆盖6条不重合的线段（圆内最长的距离就是直径啊），因为从圆心所引的n条线段的其中一个端点是重合的（另一个端点在单位 ...

不好意思，刚刚回复的证明是错的，逻辑上有漏洞。当小圆达到一定数量后，可以完全覆盖单位圆，所以可以覆盖内接正n边形（但不一定需要n个），只不过所需要小圆的数目不止6个，具体的楼主画一下图差不多就明白了。

[ 发自小木虫客户端 ]
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4楼2014-03-06 00:30:27
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苏沉e

木虫 (初入文坛)
feixiaolin: 屏蔽内容, 重复发帖 2014-03-06 07:06:23
本帖内容被屏蔽
5楼2014-03-06 00:31:01
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
正n边形的的边心距  cos(pi/n)
相邻两个小圆的交点到圆心的距离sqrt[(1/2)^2 + (1/2)^2 - 2*(1/2)^2*cos(pi-pi/3)]=sqrt(3)/2
cos(pi/n)>sqrt(3)/2  ------> n>6
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6楼2014-03-06 08:29:26
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lypku

新虫 (小有名气)
引用回帖:
6楼: Originally posted by feixiaolin at 2014-03-06 08:29:26
正n边形的的边心距  cos(pi/n)
相邻两个小圆的交点到圆心的距离sqrt=sqrt(3)/2
cos(pi/n)>sqrt(3)/2  ------> n>6

是默认每个小圆都过大圆圆心么？……
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7楼2014-03-06 13:06:43
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)
引用回帖:
7楼: Originally posted by lypku at 2014-03-06 13:06:43
是默认每个小圆都过大圆圆心么？……...

是
8楼2014-03-06 13:08:48
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lypku

新虫 (小有名气)
引用回帖:
8楼: Originally posted by feixiaolin at 2014-03-06 13:08:48
是...

这怎么默认的 默认不需要这么算啊 因为过了圆心 至多过一个多边形顶点 六个圆最多过六个顶点……

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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9楼2014-03-06 14:00:42
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hank612

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
引用回帖:
6楼: Originally posted by feixiaolin at 2014-03-06 08:29:26
正n边形的的边心距  cos(pi/n)
相邻两个小圆的交点到圆心的距离sqrt=sqrt(3)/2
cos(pi/n)>sqrt(3)/2  ------> n>6

其实这个问题的关键所在已经由feixiaolin大神指出了, 我想把细节稍微补充一下.

假设六个直径1/2小圆可以覆盖单位圆内接正n边形, 将每个小圆圆心与大圆圆心连线,那么至少有一对相邻线段, 它们的夹角大于等于60度.  (不妨设没有小圆, 圆心与大圆圆心重合, 为什么可以?)

不妨设夹角正好就是60度(为什么可以?)  现在考虑扇形 z=r*exp(i*Pi/6), z=r*exp(-i*Pi/6), 不妨设小圆要覆盖 z=1/2*exp(+/- i*pi/6) (为什么要?), 那么圆心就不能在单位圆外部. 那么, 两个小圆能够覆盖的X轴上点最远为 ( Cos(Pi/6),0) ( 当且仅当有个小圆圆心在单位圆周上).

设正n边形在第一象限离点(1,0)最近的顶点为 z=exp(i*a), 0<=a <2*Pi/n. 那么在第四象限离点(1,0)最近的点就是 exp(i*(a-2Pi/n)). 这两点连线, 交X轴于点(b,0), 其中 b=Cos(Pi/n) / Cos(Pi/n-a).  (利用解析几何,算一下).  显然 b>= Cos(Pi/n) > Cos(Pi/6) 如果n>6.
换句话说, 两小圆够不着点 (b,0), 因此不构成覆盖.
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We_must_know. We_will_know.
10楼2014-03-08 03:47:44
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