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| 怎样证明单位圆内接正n边形（n≥7）不能用6个直径为1的圆覆盖？ |
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feixiaolin
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5楼2014-03-06 00:31:01
feixiaolin
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【答案】应助回帖
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其实这个问题的关键所在已经由feixiaolin大神指出了, 我想把细节稍微补充一下. 假设六个直径1/2小圆可以覆盖单位圆内接正n边形, 将每个小圆圆心与大圆圆心连线,那么至少有一对相邻线段, 它们的夹角大于等于60度. (不妨设没有小圆, 圆心与大圆圆心重合, 为什么可以?) 不妨设夹角正好就是60度(为什么可以?) 现在考虑扇形 z=r*exp(i*Pi/6), z=r*exp(-i*Pi/6), 不妨设小圆要覆盖 z=1/2*exp(+/- i*pi/6) (为什么要?), 那么圆心就不能在单位圆外部. 那么, 两个小圆能够覆盖的X轴上点最远为 ( Cos(Pi/6),0) ( 当且仅当有个小圆圆心在单位圆周上). 设正n边形在第一象限离点(1,0)最近的顶点为 z=exp(i*a), 0<=a <2*Pi/n. 那么在第四象限离点(1,0)最近的点就是 exp(i*(a-2Pi/n)). 这两点连线, 交X轴于点(b,0), 其中 b=Cos(Pi/n) / Cos(Pi/n-a). (利用解析几何,算一下). 显然 b>= Cos(Pi/n) > Cos(Pi/6) 如果n>6. 换句话说, 两小圆够不着点 (b,0), 因此不构成覆盖. |
10楼2014-03-08 03:47:44
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