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lypku

新虫 (小有名气)

[求助] 求助大神 已有3人参与

怎样证明单位圆内接正n边形（n≥7）不能用6个直径为1的圆覆盖？
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1楼 2014-03-05 20:21:23
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
正n边形的的边心距  cos(pi/n)
相邻两个小圆的交点到圆心的距离sqrt[(1/2)^2 + (1/2)^2 - 2*(1/2)^2*cos(pi-pi/3)]=sqrt(3)/2
cos(pi/n)>sqrt(3)/2  ------> n>6
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6楼2014-03-06 08:29:26
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主
需要证明n边形的的边心距>相邻两个小圆的交点到圆心的距离。

[ Last edited by feixiaolin on 2014-3-6 at 07:15 ]
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2楼2014-03-05 23:35:40
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苏沉e

木虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
单位圆半径为1，内接正n边形时可从圆心向n个顶点引n条线段等于半径1，而6个直径为1圆最多可以覆盖6条不重合的线段（圆内最长的距离就是直径啊），因为从圆心所引的n条线段的其中一个端点是重合的（另一个端点在单位圆圆周上），所以要覆盖几条线段就要几个直径1的圆，那么当n大于等于7时，必定有n-6条线段无法被覆盖，则对应的正n边形剩下的那n-6个角自然就无法被覆盖了。
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3楼2014-03-05 23:57:29
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苏沉e

木虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

引用回帖:
3楼: Originally posted by 苏沉e at 2014-03-05 23:57:29
单位圆半径为1，内接正n边形时可从圆心向n个顶点引n条线段等于半径1，而6个直径为1圆最多可以覆盖6条不重合的线段（圆内最长的距离就是直径啊），因为从圆心所引的n条线段的其中一个端点是重合的（另一个端点在单位 ...

不好意思，刚刚回复的证明是错的，逻辑上有漏洞。当小圆达到一定数量后，可以完全覆盖单位圆，所以可以覆盖内接正n边形（但不一定需要n个），只不过所需要小圆的数目不止6个，具体的楼主画一下图差不多就明白了。

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4楼2014-03-06 00:30:27
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