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lypku

新虫 (小有名气)

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怎样证明单位圆内接正n边形(n≥7)不能用6个直径为1的圆覆盖?
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lypku

新虫 (小有名气)

引用回帖:
6楼: Originally posted by feixiaolin at 2014-03-06 08:29:26
正n边形的的边心距  cos(pi/n)
相邻两个小圆的交点到圆心的距离sqrt=sqrt(3)/2
cos(pi/n)>sqrt(3)/2  ------> n>6

是默认每个小圆都过大圆圆心么?……
7楼2014-03-06 13:06:43
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主

需要证明n边形的的边心距>相邻两个小圆的交点到圆心的距离。

[ Last edited by feixiaolin on 2014-3-6 at 07:15 ]
2楼2014-03-05 23:35:40
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苏沉e

木虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

感谢参与,应助指数 +1
单位圆半径为1,内接正n边形时可从圆心向n个顶点引n条线段等于半径1,而6个直径为1圆最多可以覆盖6条不重合的线段(圆内最长的距离就是直径啊),因为从圆心所引的n条线段的其中一个端点是重合的(另一个端点在单位圆圆周上),所以要覆盖几条线段就要几个直径1的圆,那么当n大于等于7时,必定有n-6条线段无法被覆盖,则对应的正n边形剩下的那n-6个角自然就无法被覆盖了。
3楼2014-03-05 23:57:29
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苏沉e

木虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

引用回帖:
3楼: Originally posted by 苏沉e at 2014-03-05 23:57:29
单位圆半径为1,内接正n边形时可从圆心向n个顶点引n条线段等于半径1,而6个直径为1圆最多可以覆盖6条不重合的线段(圆内最长的距离就是直径啊),因为从圆心所引的n条线段的其中一个端点是重合的(另一个端点在单位 ...

不好意思,刚刚回复的证明是错的,逻辑上有漏洞。当小圆达到一定数量后,可以完全覆盖单位圆,所以可以覆盖内接正n边形(但不一定需要n个),只不过所需要小圆的数目不止6个,具体的楼主画一下图差不多就明白了。

[ 发自小木虫客户端 ]
4楼2014-03-06 00:30:27
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