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yq66789

银虫 (著名写手)

[求助] 大一高数 求助已有2人参与

求助如下图中第5题，最好能有详细点的过程，配图最好~~，在线等，谢谢各位！
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1楼2014-02-12 16:47:52
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yq66789

银虫 (著名写手)
题目下方为答案
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2楼2014-02-12 16:48:27
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主
5.  待定系数法可解
   根据题目描述，取f(x)=a*exp(x)+b*cos(2x)+c*sin(2x)

6.  Intergrate[exp(-x^2)]=sqrt(pi)/2*erf(x) + constant           // erf(x) 误差函数
   Intergrate[erf(x)]=x*erf(x) + exp(-x^2)/sqrt(pi) + constant
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3楼2014-02-12 20:35:03
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hubeizk

银虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
yq66789(feixiaolin代发): 金币+2 2014-02-12 23:40:29
feixiaolin: 金币+1 2014-02-12 23:40:59
感觉第一题超出大一所学范围了，要用到常微分的知识。首先对后面的那个积分做积分变换，令y=x-t，于是后面的那个积分等于\integral_0^x f(y) dy ，然后等式两边同时对x求导，得到 f'(x)=2 cos(2x)+ f(x) ，然后利用常微分的知识很快就可以求出f(x)的形式来，最后根据原来的等式待定系数就可以求出f(x)的具体表达式了
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4楼2014-02-12 21:31:12
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
yq66789(feixiaolin代发): 金币+3 2014-02-12 23:40:40
feixiaolin: 金币+1 2014-02-12 23:41:06
第五题
由题设条件可推得：f(0)=0
令u=x-t,对方程两边关于x求导：
df(x)/dx=2*cos(2*x)+f(x-x)+Integral{df(u)/du*Pu/Px*dt,0,x}
        =2*cos(2*x)+f(0)+Integral{df(u)/du*1*[-d(x-t)],0,x}
        =2*cos(2*x)+0- Integral{df(u)/du*1*du),0,x}
        =2*cos(2*x) - Integral{df(u),0,x}
        =2*cos(2*x) + f(x)-f(0)
         =2*cos(2*x) + f(x)
故有：df(x)/dx - f(x) =2*cos(2*x)
这是一个一阶线性常系数常微分方程，套用已有求解公式即可解出f(x)。
f(x)=e^{Integral[-(-dx)]}*{C+Integral{2*cos(2*x)* e^{Integral[-dx]*dx}}}
=e^x*{C+2*Integral{cos(2*x)*e^(-x)*dx}}
因为Integral{cos(2*x)*e^(-x)*dx}=Integral{-cos(2*x)*d[e^(-x）]}
= -e^(-x)*cos(2*x)+Integral{[2*sin(2*x)]* d[e^(-x）]}
      =-e^(-x)*cos(2*x) +2*e^(-x）*sin(2*x)-4*Integral{e^(-x)*cos(2*x)*dx}
所以，Integral{cos(2*x)*e^(-x)*dx}= 1/5*e^(-x)*[ 2*sin(2*x)-cos(2*x)]
所以，f(x)= e^x*{C+2/5*e^(-x)*[ 2*sin(2*x)-cos(2*x)]
  令x=0,f(0)=0=1*{C+2/5*1*[2*0-1],故C=2/5,
f(x)= e^x*{2/5+2/5*e^(-x)*[ 2*sin(2*x)-cos(2*x)]
    =2/5*e^x + 2/5*[ 2*sin(2*x)-cos(2*x)]
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5楼2014-02-12 22:38:43
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冰玉517

新虫 (小有名气)
大一的高数题竟然被解成这么复杂、、、
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6楼2014-02-14 12:20:56
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yq66789

银虫 (著名写手)
引用回帖:
6楼: Originally posted by 冰玉517 at 2014-02-14 12:20:56
大一的高数题竟然被解成这么复杂、、、

上面的解法其实不复杂，只是过程写的很详细，很耐心的表现哦
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7楼2014-02-14 16:23:49
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