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yq66789银虫 (著名写手)
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求助如下图中第5题，最好能有详细点的过程，配图最好~~，在线等，谢谢各位！ |
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yq66789
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2楼2014-02-12 16:48:27
feixiaolin
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3楼2014-02-12 20:35:03
【答案】应助回帖
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yq66789(feixiaolin代发): 金币+2 2014-02-12 23:40:29
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yq66789(feixiaolin代发): 金币+2 2014-02-12 23:40:29
feixiaolin: 金币+1 2014-02-12 23:40:59
| 感觉第一题超出大一所学范围了，要用到常微分的知识。首先对后面的那个积分做积分变换，令y=x-t，于是后面的那个积分等于\integral_0^x f(y) dy ，然后等式两边同时对x求导，得到 f'(x)=2 cos(2x)+ f(x) ，然后利用常微分的知识很快就可以求出f(x)的形式来，最后根据原来的等式待定系数就可以求出f(x)的具体表达式了 |
4楼2014-02-12 21:31:12
peterflyer 
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peterflyer
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【答案】应助回帖
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yq66789(feixiaolin代发): 金币+3 2014-02-12 23:40:40
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yq66789(feixiaolin代发): 金币+3 2014-02-12 23:40:40
feixiaolin: 金币+1 2014-02-12 23:41:06
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第五题 由题设条件可推得：f(0)=0 令u=x-t,对方程两边关于x求导： df(x)/dx=2*cos(2*x)+f(x-x)+Integral{df(u)/du*Pu/Px*dt,0,x} =2*cos(2*x)+f(0)+Integral{df(u)/du*1*[-d(x-t)],0,x} =2*cos(2*x)+0- Integral{df(u)/du*1*du),0,x} =2*cos(2*x) - Integral{df(u),0,x} =2*cos(2*x) + f(x)-f(0) =2*cos(2*x) + f(x) 故有：df(x)/dx - f(x) =2*cos(2*x) 这是一个一阶线性常系数常微分方程，套用已有求解公式即可解出f(x)。 f(x)=e^{Integral[-(-dx)]}*{C+Integral{2*cos(2*x)* e^{Integral[-dx]*dx}}} =e^x*{C+2*Integral{cos(2*x)*e^(-x)*dx}} 因为Integral{cos(2*x)*e^(-x)*dx}=Integral{-cos(2*x)*d[e^(-x）]} = -e^(-x)*cos(2*x)+Integral{[2*sin(2*x)]* d[e^(-x）]} =-e^(-x)*cos(2*x) +2*e^(-x）*sin(2*x)-4*Integral{e^(-x)*cos(2*x)*dx} 所以，Integral{cos(2*x)*e^(-x)*dx}= 1/5*e^(-x)*[ 2*sin(2*x)-cos(2*x)] 所以，f(x)= e^x*{C+2/5*e^(-x)*[ 2*sin(2*x)-cos(2*x)] 令x=0,f(0)=0=1*{C+2/5*1*[2*0-1],故C=2/5, f(x)= e^x*{2/5+2/5*e^(-x)*[ 2*sin(2*x)-cos(2*x)] =2/5*e^x + 2/5*[ 2*sin(2*x)-cos(2*x)] |
5楼2014-02-12 22:38:43
6楼2014-02-14 12:20:56
yq66789
银虫 (著名写手)
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7楼2014-02-14 16:23:49
