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yq66789

银虫 (著名写手)

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[求助] 大一高数求助已有2人参与

求助如下图中第5题，最好能有详细点的过程，配图最好~~，在线等，谢谢各位！

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1楼2014-02-12 16:47:52

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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
yq66789(feixiaolin代发): 金币+3 2014-02-12 23:40:40
feixiaolin: 金币+1 2014-02-12 23:41:06

第五题
由题设条件可推得：f(0)=0
令u=x-t,对方程两边关于x求导：
df(x)/dx=2*cos(2*x)+f(x-x)+Integral{df(u)/du*Pu/Px*dt,0,x}
      =2*cos(2*x)+f(0)+Integral{df(u)/du*1*[-d(x-t)],0,x}
      =2*cos(2*x)+0- Integral{df(u)/du*1*du),0,x}
      =2*cos(2*x) - Integral{df(u),0,x}
      =2*cos(2*x) + f(x)-f(0)
      =2*cos(2*x) + f(x)
故有：df(x)/dx - f(x) =2*cos(2*x)
这是一个一阶线性常系数常微分方程，套用已有求解公式即可解出f(x)。
f(x)=e^{Integral[-(-dx)]}*{C+Integral{2*cos(2*x)* e^{Integral[-dx]*dx}}}
=e^x*{C+2*Integral{cos(2*x)*e^(-x)*dx}}
因为Integral{cos(2*x)*e^(-x)*dx}=Integral{-cos(2*x)*d[e^(-x）]}
= -e^(-x)*cos(2*x)+Integral{[2*sin(2*x)]* d[e^(-x）]}
   =-e^(-x)*cos(2*x) +2*e^(-x）*sin(2*x)-4*Integral{e^(-x)*cos(2*x)*dx}
所以，Integral{cos(2*x)*e^(-x)*dx}= 1/5*e^(-x)*[ 2*sin(2*x)-cos(2*x)]
所以，f(x)= e^x*{C+2/5*e^(-x)*[ 2*sin(2*x)-cos(2*x)]
  令x=0,f(0)=0=1*{C+2/5*1*[2*0-1],故C=2/5,
f(x)= e^x*{2/5+2/5*e^(-x)*[ 2*sin(2*x)-cos(2*x)]
=2/5*e^x + 2/5*[ 2*sin(2*x)-cos(2*x)]

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5楼2014-02-12 22:38:43

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