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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 常微分两道
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vivianchao

新虫 (小有名气)

[求助] 常微分两道 已有2人参与

刚注册几天，没什么金币，但是希望高人帮忙解答一下，非常感谢。
常微分两道
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1楼 2014-01-15 16:44:46
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主
用拉普拉斯变换，可解。
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2楼2014-01-15 17:01:56
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vivianchao

新虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by feixiaolin at 2014-01-15 17:01:56
用拉普拉斯变换，可解。

如果考试的时候，拉普拉斯变化要自己全部记住吗？我看并没有给出
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3楼2014-01-15 17:04:20
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主
引用回帖:
3楼: Originally posted by vivianchao at 2014-01-15 17:04:20
如果考试的时候，拉普拉斯变化要自己全部记住吗？我看并没有给出...

那就在时间与求解。
第一组微分方程，可得x+z=y+const，转换为2变量方程求解。
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4楼2014-01-15 17:27:23
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
需要给出边界条件才能得解。用laplace法求解：
（1）s*U-x0=U+V+W;
        s*V-y0=U+3*V-W;
        s*W-z0=2*V-2*W
     其中， U、V、W分别为x、y、z的拉氏变换；x0、y0、z0分别为t=0时x、y、z的值。
    求解上面三元一次方程组得到：
      U=
      V=
      W=
对它们求反变换得到答案。
（2）[s^6*U-a5*s^5-a4*s^4-a3*s^3-a2*s^2-a1*s-a0]-[s^4*U-a3*s^3
-a2*s^2-a1*s-a0]+[s^2*U-a1*s-a0]-U=0
   其中，ai为y的 i 阶导数在x=0处的值。i=1~5
  求出：
    U=
对U求反变换得到y=y(x)

另外，第二题还可以按特征值法求解：
r^6-r^4+r^2-1=0
r1=1;r2=-1;r3=1/sqrt(2)+i/sqrt(2);r4=-1/sqrt(2)+i/sqrt(2);
  r5=-1/sqrt(2)-i/sqrt(2);r6=1/sqrt(2)-i/sqrt(2)

y=c1*e^x+c2*e^(-x)+e^[x/sqrt(2)]*{c3*Cos[x/sqrt(2)]+c4*Sin[x/sqrt(2)]}+e^[-x/sqrt(2)]*{c5*Cos[x/sqrt(2)]+c6*Sin[x/sqrt(2)]}
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5楼2014-01-15 20:32:03
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★
vivianchao(feixiaolin代发): 金币+4 2014-01-17 17:53:21
引用回帖:
3楼: Originally posted by vivianchao at 2014-01-15 17:04:20
如果考试的时候，拉普拉斯变化要自己全部记住吗？我看并没有给出...

特殊的拉氏变换是要牢记的。比如常数、x^n、Sinx、Cosx、e^x、y的导数与积分的拉氏变换。
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6楼2014-01-15 20:37:21
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zsm28

铁虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

★
感谢参与，应助指数 +1
vivianchao(feixiaolin代发): 金币+1 2014-01-17 17:53:29
第一题：
可用微分方程组解， 答案是：
x = 2C1 + (1 + sqrt(5))C2*e^[(1+ sqrt(5))t] + (1 -sqrt(5)) C3*e^[(1 -sqrt(5))t]
y = -C1 + (3 + sqrt(5))C2*e^[(1+ sqrt(5))t] + (3 -sqrt(5)) C3*e^[(1 -sqrt(5))t]
z = -C1 + 2C2*e^[(1+ sqrt(5))t] + 2C3*e^[(1 -sqrt(5))t]
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7楼2014-01-16 03:07:59
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