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math2000

铁杆木虫 (职业作家)

[求助] 求高斯解答数学分析中曲面积分试题。谢谢 已有3人参与

求坛中高手解答曲面积分题，谢谢。
求高斯解答数学分析中曲面积分试题。谢谢
题3.png
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1楼 2014-01-05 12:09:43
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laohuajiang

至尊木虫 (职业作家)

老花匠

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
先根据奇偶性简化计算，然后就简单多了。
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静坐常思自己过,闲谈莫论他人非!---老花匠(老非老-春残意彷徨;花非花-芳踪觅繁华,匠非匠-最美难得糊涂!)
2楼2014-01-05 16:39:28
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
应用奥氏公式，= (pP/px+0+3*z^2)对上半球的体积分。
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3楼2014-01-05 18:25:41
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math2000

铁杆木虫 (职业作家)
引用回帖:
3楼: Originally posted by feixiaolin at 2014-01-05 18:25:41
应用奥氏公式，= (pP/px+0+3*z^2)对上半球的体积分。

能给个详细的解答过程吗？
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4楼2014-01-05 19:16:06
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zywang1999

银虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
math2000: 金币+20, ★★★★★最佳答案, 非常感谢 2014-01-05 20:15:54
为便于描述，积分表示为Integrate(Pdydz + Qdzdx + Rdxdy, S).
考虑到积分曲面为上半单位球面，球心在原点。分别计算三个积分。
P = tan[x^2/(1+|x|+|y|)] = tan[(1-z^2-y^2)/(1+|y|+sqrt(1-y^2-z^2)  )]是 y、z 的偶函数。
把S分割为Sh（指向x轴正向）、Sb(指向x轴负向)两部分，交线在zox面上，投影到yoz面上的区域都是Dyz。
则 Integrate(Pdydz, S) = Integrate(Pdydz, Sh) + Integrate(Pdydz, Sb)
= Integrate(Pdydz, Dyz) - Integrate(Pdydz, Dyz) = 0.
同理可得，Integrate(z^2sinx dzdx, S) = 0.
Integrate(Rdxdy, S) = Integrate((1-x^2-y^2)^1.5, Dxy)
= Integrate(da, 0, 2Pai) * Integrate( (1-r^2)^1.5 * r dr, 0, 1) (令u = r^2)
= Pai * Integrate( (1-u)^1.5, 0, 1) = 2Pai/5.
所以Integrate(Pdydz + Qdzdx + Rdxdy, S) = 2Pai/5.
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我是这么深爱你啊，我的中国
5楼2014-01-05 19:17:13
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math2000

铁杆木虫 (职业作家)
引用回帖:
5楼: Originally posted by zywang1999 at 2014-01-05 19:17:13
为便于描述，积分表示为Integrate(Pdydz + Qdzdx + Rdxdy, S).
考虑到积分曲面为上半单位球面，球心在原点。分别计算三个积分。
P = tan = tan是 y、z 的偶函数。
把S分割为Sh（指向x轴正向）、Sb(指向x轴负向)两 ...

结果是不是有点问题？
1）Q不是偶函数，积分Integrate(z^2sinx dzdx, S) = 0成立吗？
2）Integrate(Rdxdy, S) 我算出来怎么是Pai/2?
望解答，谢谢
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6楼2014-01-05 20:48:56
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zywang1999

银虫 (小有名气)
(1)  Q不是偶函数，积分Integrate(z^2sinx dzdx, S) = 0成立.
结果为0，是由积分区域S=Sr + Sl (右边和左边曲面)，Sr指向y轴正向而Sl指向y轴负向。
Integrate(Qdzdx,S) = Integrate(Qdzdx,Sr) + Integrate(Qdzdx,Sl)
=Integrate(Qdzdx,Dzx) -  Integrate(Qdzdx,Dzx) = 0（对于Sl, 投影后积分号前为负号）
(2) 采用极坐标计算。(1-u)^1.5du = d[1/(1+1.5) * (1-u)^2.5 *(-1)]
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我是这么深爱你啊，我的中国
7楼2014-01-05 21:27:45
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math2000

铁杆木虫 (职业作家)
引用回帖:
7楼: Originally posted by zywang1999 at 2014-01-05 21:27:45
(1)  Q不是偶函数，积分Integrate(z^2sinx dzdx, S) = 0成立.
结果为0，是由积分区域S=Sr + Sl (右边和左边曲面)，Sr指向y轴正向而Sl指向y轴负向。
Integrate(Qdzdx,S) = Integrate(Qdzdx,Sr) + Integrate(Qdzdx ...

麻烦你看下，我的计算错在哪里？谢谢
求高斯解答数学分析中曲面积分试题。谢谢-1
问题.png
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8楼2014-01-05 21:58:17
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zywang1999

银虫 (小有名气)
引用回帖:
8楼: Originally posted by math2000 at 2014-01-05 21:58:17
麻烦你看下，我的计算错在哪里？谢谢

问题.png
...

不应该有 sqrt(1+Zx^2+Zy^2)。这里不是对面积的曲面积分（dS）, 而是对坐标的曲面积分(dxdy)。
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我是这么深爱你啊，我的中国
9楼2014-01-05 23:08:57
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math2000

铁杆木虫 (职业作家)
лл
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10楼2014-01-06 18:14:04
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