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math2000

铁杆木虫 (职业作家)

数学EPI: 2
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专业: 概率论与随机分析

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投稿Elsevier的杂志（返修），总是在选择OA和subscription界面被踢皮球已经有8人回复

1楼 2014-01-05 12:09:43

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

zywang1999

银虫 (小有名气)

应助: 24 (小学生)
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专业: 计算数学与科学工程计算

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
math2000: 金币+20, ★★★★★最佳答案, 非常感谢 2014-01-05 20:15:54

为便于描述，积分表示为Integrate(Pdydz + Qdzdx + Rdxdy, S).
考虑到积分曲面为上半单位球面，球心在原点。分别计算三个积分。
P = tan[x^2/(1+|x|+|y|)] = tan[(1-z^2-y^2)/(1+|y|+sqrt(1-y^2-z^2) )]是 y、z 的偶函数。
把S分割为Sh（指向x轴正向）、Sb(指向x轴负向)两部分，交线在zox面上，投影到yoz面上的区域都是Dyz。
则 Integrate(Pdydz, S) = Integrate(Pdydz, Sh) + Integrate(Pdydz, Sb)
= Integrate(Pdydz, Dyz) - Integrate(Pdydz, Dyz) = 0.
同理可得，Integrate(z^2sinx dzdx, S) = 0.
Integrate(Rdxdy, S) = Integrate((1-x^2-y^2)^1.5, Dxy)
= Integrate(da, 0, 2Pai) * Integrate( (1-r^2)^1.5 * r dr, 0, 1) (令u = r^2)
= Pai * Integrate( (1-u)^1.5, 0, 1) = 2Pai/5.
所以Integrate(Pdydz + Qdzdx + Rdxdy, S) = 2Pai/5.