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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 计算数学 » 非线性最小二乘，约束优化
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关月阑珊

木虫 (小有名气)

[求助] 非线性最小二乘，约束优化

各位大神，有这样一个问题一直没有想通，请大家帮忙看一下。

背景是一个测量系统的标定，需要求出标定参数(下面式中，x1、x2、x3、x4是需要求出的)。

式子如下：
yi = ai1*x1 + ai2*x2 + ai3*x3 + ai4*x1*x2 + ai5*x1*x3 + ai6*x2*x4 +ai7*x3*x4;（式1）
其中，yi,ai1,ai2,…,ai7是通过实验得到的一系列对应的数组，点的多少可以通过试验时间来调整。

问题是，如何用尽可能多一些的实验数据点，来得到x1,x2,x3,x4的值？着是属于非线性最小二乘还是无约束最优化问题、或有约束最优化问题。

另外，得到了x1,x2,x3,x4的值后，整套测量系统的未知参数就确定了，因为标定实验中测量的是圆环，我想用这样一个式子来优化（或者说判定前面得到参数x1,x2,x3,x4）值的优劣，式子是   sum{ abs[ ( f(rho,x1,x4)-g(x2,x3) ) – R  ]}=min,（式2）其中，f(rho,x1,x4)是被测点的坐标，g(x2,x3)是圆心坐标，整个式子的意思就是被测圆环上的各个点到圆心的绝对值最小。
这是否转化为了有约束的最优化问题？是用拟合的方法还是别的？

具体应该怎样实现啊？
第一，        如何把式1与最小二乘原理结合，用到尽可能多的测试数据，提高结果的可信度；
第二，        如何与式2中的优化函数相结合，来对参数进行评价？
第三，        或者能把两个步骤结合在一起？

在线等，谢谢大家先
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1楼2013-09-21 10:56:28
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关月阑珊

木虫 (小有名气)
关月阑珊: 回帖置顶 2013-09-21 15:46:58
引用回帖:
5楼: Originally posted by feixiaolin at 2013-09-21 15:06:28
印象中，有三个方法解决这类问题
1）谭久彬法。老谭今年院士过二审了；
2）傅立叶变换展开法；  http://wenku.baidu.com/view/14dd89fbc8d376eeaeaa31eb.html
3）圆柱面方程拟合法。  这个就不用解释了。...

我的测量是圆环，但是圆环仅仅是我用来标定系统的。主要的目的是把测量系统标定，就是找到测量系统的零点。

我想我的问题应该归结成为一个有约束最优化问题的，即：

min f（x），其中x在G（x）=0的条件下。

上面f（x）就应该是我写的 式2 ，G(x)就是我写的式1；
yi = ai1*x1 + ai2*x2 + ai3*x3 + ai4*x1*x2 + ai5*x1*x3 + ai6*x2*x4 +ai7*x3*x4;（式1）
sum{ abs[ ( f(rho,x1,x4)-g(x2,x3) ) – R  ]}=min,（式2)

但是，问题在于在约束条件中，涉及到把多次测量的数据都用上，这我就感觉比较麻烦了。。

同时，对于怎样求解x1，x2，x3，x4我现在只会用牛顿迭代，4个方程求解4个未知数的方法得到。。

怎样用上多个点，和怎样把约束条件下的优化问题解决我就不太明白了。最近看到有的材料上写着用搜索的方法求解数值解，还不太明白。。
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6楼2013-09-21 15:35:00
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普通回帖

关月阑珊

木虫 (小有名气)
对于x1、x2、x3、x4，有大概的一个定义域，是通过工件在测量设备上的放置位置粗略得到的。
对于式1，yi = ai1*x1 + ai2*x2 + ai3*x3 + ai4*x1*x2 + ai5*x1*x3 + ai6*x2*x4 +ai7*x3*x4;（式1），我已经选择了4组测量点，通过最简单的牛顿迭代求出x1、x2、x3、x4，但是只用了4个点，可信度比较低。如何与最小二乘结合、如何用那个优化式子（式2）进行评价是现在最迫切的
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2楼2013-09-21 11:02:33
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主
你是圆度测量还是什么滴？
需要根据具体测量问题来确定你的方程。
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3楼2013-09-21 14:48:05
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关月阑珊

木虫 (小有名气)
引用回帖:
3楼: Originally posted by feixiaolin at 2013-09-21 14:48:05
你是圆度测量还是什么滴？
需要根据具体测量问题来确定你的方程。

我是测量一个圆环，通过测量圆环之后得到的数据，来对测量系统进行标定。上面给出的 式（1） 是标定方程，4个未知数，我用牛顿迭代已经求解出来了，但是只用到4个数据点，可信度低。我想尽可能用到多的测量数据，所以才想与最小二乘结合。
另外，对于求解出的x1，x2，x3，x4，是要通过式（2）进行评价，或者说进行优化的。这是否就转化成为了  有约束最优化问题啊。但是怎样能尽可能用到多的测量点是需要解决的。。
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4楼2013-09-21 14:55:31
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

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【答案】应助回帖

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关月阑珊: 金币+10, ★有帮助 2013-09-22 19:30:57
关月阑珊: 金币+30, ★有帮助 2013-09-25 08:57:52
印象中，有三个方法解决这类问题
1）谭久彬法。老谭今年院士过二审了；
2）傅立叶变换展开法；  http://wenku.baidu.com/view/14dd89fbc8d376eeaeaa31eb.html
3）圆柱面方程拟合法。  这个就不用解释了。
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5楼2013-09-21 15:06:28
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关月阑珊

木虫 (小有名气)
刚才想起来，如果我不用式2作为评价，只对式1，根据式1和yi,ai1,ai2,…,ai7是通过实验得到的一系列对应的数组
将未知数x1，x2，x3，x4求解出来，但是要用到尽可能多的测量点（我认为应该结合最小二乘思想），那应该怎么实施啊？
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7楼2013-09-21 16:01:49
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feixiaolin

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附件：圆度误差的快速傅立叶变换分析.pdf
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    • 2013-09-21 16:46:03, 144.04 K
8楼2013-09-21 16:47:05
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关月阑珊

木虫 (小有名气)
引用回帖:
8楼: Originally posted by feixiaolin at 2013-09-21 16:47:05
附件：圆度误差的快速傅立叶变换分析.pdf

我不是这个意思，您给的那个论文是通过傅里叶变换来看工件的圆度误差的。而我要解决的是参数的标定，我是要通过测得圆环上的点来确定测量系统的参数。
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9楼2013-09-22 09:31:21
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feixiaolin

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优秀版主
式1改写成
Zi=yi- ai1*x1 + ai2*x2 + ai3 *x3 + ai4*x1*x2 + ai5*x1*x3 + ai6*x2*x4 +ai7*x3*x4=0;
产生 Zi^2=0，就和最小二乘原理扯上关系了。
可求出xi。

利用最小二乘得到xi，作为初始值，带入式2再优化一次。
就好了。
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10楼2013-09-22 09:51:10
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