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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 计算数学 » 求教詹兴致《矩阵论》上的一题
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sibigu

新虫 (初入文坛)

[求助] 求教詹兴致《矩阵论》上的一题

詹兴致《矩阵论》p12 第7题

求教詹兴致《矩阵论》上的一题
QQ截图20130809082534.png
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1楼 2013-08-09 20:02:15
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tang2x

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
此题答案输入太麻烦，金币又少，故人气很低。哎！！！
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菜鸟一枚
2楼2013-08-09 22:07:50
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yangrui123

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
根据定义证明即可，因为条件里我们知道了它是一个非奇异的矩阵，显然在下标的子集里，该矩阵仍然为可逆矩阵，抓住定义即可证明，另外可以用归纳法证明
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乐观，自信，爱是我的生活态度，也希望以此能都影响大家
3楼2013-08-10 09:21:31
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sibigu

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
3楼: Originally posted by yangrui123 at 2013-08-10 09:21:31
根据定义证明即可，因为条件里我们知道了它是一个非奇异的矩阵，显然在下标的子集里，该矩阵仍然为可逆矩阵，抓住定义即可证明，另外可以用归纳法证明

能不能稍微具体点
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4楼2013-08-10 12:27:19
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sibigu

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
2楼: Originally posted by tang2x at 2013-08-09 22:07:50
此题答案输入太麻烦，金币又少，故人气很低。哎！！！

写在纸上，拍张照传上来可以不? 这题我想来很久都没辙
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5楼2013-08-10 12:30:58
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yangrui123

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

引用回帖:
4楼: Originally posted by sibigu at 2013-08-10 12:27:19
能不能稍微具体点...

A 与A的逆的积是I，由条件我们知道Aj的和可逆，那么m的子集s里显然可逆，重要的是要处理m与s的集合的证明，说到这里啦，自己想一想啊往后的
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乐观，自信，爱是我的生活态度，也希望以此能都影响大家
6楼2013-08-10 12:46:18
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sibigu

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
6楼: Originally posted by yangrui123 at 2013-08-10 12:46:18
A 与A的逆的积是I，由条件我们知道Aj的和可逆，那么m的子集s里显然可逆，重要的是要处理m与s的集合的证明，说到这里啦，自己想一想啊往后的...

什么m的子集的元素之和可逆（是说真子集吧），这显然我就没瞧出来，要是m=n，这明显就不对，若m>n,我假设m=n+1, 你说他的真子集元素之和显然可逆，等于说这结论显然成立，说了等于没说啊。
这题也没简单到这份上，我想
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7楼2013-08-10 13:09:50
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hank612

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
sibigu: 金币+5 2013-08-29 12:36:40
引用回帖:
7楼: Originally posted by sibigu at 2013-08-10 13:09:50
什么m的子集的元素之和可逆（是说真子集吧），这显然我就没瞧出来，要是m=n，这明显就不对，若m>n,我假设m=n+1, 你说他的真子集元素之和显然可逆，等于说这结论显然成立，说了等于没说啊。
这题也没简单到这份 ...

这题叙述的如此简洁, 我却只能给出个很别扭的不完全的证明, 希望詹兴致老师不要生气.
我只能证明m=N+1的情况. 考虑带参数的矩阵x1*A1+x2*A2+...+x(N+1)*A(N+1)的行列式. 这是一个(N+1)元多项式f, 并且每一项次数都是N, 这可以从行列式的置换群展开式Sum_{Sigma} (-1)^{Sigma} A{1,Sigma(1)}*..*A{n, Sigma(n)} 直接看出. 该次数N就是最最关键的部分.  我们限制x1,...,x(N+1)取值要么是0, 要么是1.
现在假设命题不成立, 也就是说, 该多元齐次多项式值不等于零当且仅当x1=x2=...=x(N+1)=1.
对x1展开,  f=x1*(g1) +h1(x2,x3,...,x(N+1)). 那么, 函数h1(x2,x3,...,x(N+1))无论X2, ..., X(N+1)取零或一, 恒为零,因为这是f中x1=0的结果.
在g1函数中, 固定x1=1, 得到新的g1, 只依赖于x2, .., x(N+1)的. g1满足要求: g1 不为零当且仅当x2=...=x(N+1)=1.
g1 (新)= x2*(g2) + h2(x3, ..., x(N+1)). 同理, 函数h2(x3,...,x(N+1))无论X2, ..., X(N+1)取零或一, 恒为零.
这时固定x2=1, 得到新的g2=g2(x3,...,x(N+1)). g2 不为零当且仅当x3=...=x(N+1)=1.
现在可以考虑gN, 它由g(N-1)= xN*g(N) +hN (x(N+1)) 得到. 明显地, x(N+1) * (x(N+1) -1) 整除多项式hN. 但我们关心的是 g(N)在xN=1时的性质.   这时候,如果x(N+1)=0,  g(N) 值等于零;
如果x(N+1)=1,  g(N) 值不等于零. 这说明, 多项式g(N)的次数最少是1. (不是常数函数)
这是不可能的, 因为从f到g(N), 中间我们乘了因子x1, x2,..., xN, 它们已经用了N次, 而f总共次数才N次, 所以 g(N)次数必须是零, 即常数.
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sibigu
We_must_know. We_will_know.
8楼2013-08-23 05:32:27
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sibigu

新虫 (初入文坛)
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8楼: Originally posted by hank612 at 2013-08-23 05:32:27
这题叙述的如此简洁, 我却只能给出个很别扭的不完全的证明, 希望詹兴致老师不要生气.
我只能证明m=N+1的情况. 考虑带参数的矩阵x1*A1+x2*A2+...+x(N+1)*A(N+1)的行列式. 这是一个(N+1)元多项式f, 并且每一项次数都 ...

几天没上没看见，解答的很好！想必詹老师一定喜欢你这样自己想出来的办法
http://www.jstor.org/discover/10.2307/3072441?uid=3737800&uid=2129&uid=2134&uid=2&uid=70&uid=4&sid=21102593045857
www.rscosan.com/documents/RCTM08_rcostas.pdf‎

这是我网上搜到的答案，头一个是原始解答，算是比较自然吧，有理可循（只是我没想去从行列式入手 我从向量线性无关、矩阵的维数想去用数学归纳法做），同你异曲同工，我猜你的方法进一步，也能完整的做出，
后面的那个是推广，老实说就我看懂的部分，那个A不等于0的情形同样能用原来解答的办法做。
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9楼2013-08-29 12:51:27
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sibigu

新虫 (初入文坛)
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8楼: Originally posted by hank612 at 2013-08-23 05:32:27
这题叙述的如此简洁, 我却只能给出个很别扭的不完全的证明, 希望詹兴致老师不要生气.
我只能证明m=N+1的情况. 考虑带参数的矩阵x1*A1+x2*A2+...+x(N+1)*A(N+1)的行列式. 这是一个(N+1)元多项式f, 并且每一项次数都 ...

确切说，几个对这题的解答中，你的方法最自然
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10楼2013-08-29 13:17:45
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