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求教詹兴致《矩阵论》上的一题
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詹兴致《矩阵论》p12 第7题 QQ截图20130809082534.png |
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hank612
至尊木虫 (著名写手)
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【答案】应助回帖
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sibigu: 金币+5 2013-08-29 12:36:40
sibigu: 金币+5 2013-08-29 12:36:40
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这题叙述的如此简洁, 我却只能给出个很别扭的不完全的证明, 希望詹兴致老师不要生气. 我只能证明m=N+1的情况. 考虑带参数的矩阵x1*A1+x2*A2+...+x(N+1)*A(N+1)的行列式. 这是一个(N+1)元多项式f, 并且每一项次数都是N, 这可以从行列式的置换群展开式Sum_{Sigma} (-1)^{Sigma} A{1,Sigma(1)}*..*A{n, Sigma(n)} 直接看出. 该次数N就是最最关键的部分. 我们限制x1,...,x(N+1)取值要么是0, 要么是1. 现在假设命题不成立, 也就是说, 该多元齐次多项式值不等于零当且仅当x1=x2=...=x(N+1)=1. 对x1展开, f=x1*(g1) +h1(x2,x3,...,x(N+1)). 那么, 函数h1(x2,x3,...,x(N+1))无论X2, ..., X(N+1)取零或一, 恒为零,因为这是f中x1=0的结果. 在g1函数中, 固定x1=1, 得到新的g1, 只依赖于x2, .., x(N+1)的. g1满足要求: g1 不为零当且仅当x2=...=x(N+1)=1. g1 (新)= x2*(g2) + h2(x3, ..., x(N+1)). 同理, 函数h2(x3,...,x(N+1))无论X2, ..., X(N+1)取零或一, 恒为零. 这时固定x2=1, 得到新的g2=g2(x3,...,x(N+1)). g2 不为零当且仅当x3=...=x(N+1)=1. 现在可以考虑gN, 它由g(N-1)= xN*g(N) +hN (x(N+1)) 得到. 明显地, x(N+1) * (x(N+1) -1) 整除多项式hN. 但我们关心的是 g(N)在xN=1时的性质. 这时候,如果x(N+1)=0, g(N) 值等于零; 如果x(N+1)=1, g(N) 值不等于零. 这说明, 多项式g(N)的次数最少是1. (不是常数函数) 这是不可能的, 因为从f到g(N), 中间我们乘了因子x1, x2,..., xN, 它们已经用了N次, 而f总共次数才N次, 所以 g(N)次数必须是零, 即常数. |
sibigu
8楼2013-08-23 05:32:27
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yangrui123
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