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ccyzrb

金虫 (小有名气)

[求助] 高一数学

高一，求证在（0，π/2）内 sinx/x为增函数。
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1楼 2013-07-22 08:58:38
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pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

工程和科学数值计算咨询

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
你是说“减函数”？
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2楼2013-07-22 09:26:30
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ccyzrb

金虫 (小有名气)
我弄错了，sinx/x是减函数，但也不会证明。

我要问的是：tanx/x是增函数的证明。
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3楼2013-07-22 09:46:11
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pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

工程和科学数值计算咨询

【答案】应助回帖

令 f=sin(x)/x, f1=df/dx，我们只要证明 f1(x) <=0 即可。考察
g(x)= f1(x)/x^2 =x*cos(x)-sin(x), 我们只需要证明  g(x) <=0 即可. 这一点可以由
dg/dx=-x*sin(x) <0  for x >0 得出。证毕。
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4楼2013-07-22 09:49:27
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ccyzrb

金虫 (小有名气)
引用回帖:
4楼: Originally posted by pippi6 at 2013-07-22 09:49:27
令 f=sin(x)/x, f1=df/dx，我们只要证明 f1(x) <=0 即可。考察
g(x)= f1(x)/x^2 =x*cos(x)-sin(x), 我们只需要证明  g(x) <=0 即可. 这一点可以由
dg/dx=-x*sin(x) <0  for x >0 得出。证毕。

高一，你给我来导函数。

用那个f(x2)-f(x1)或者f(x2)/f(x1)
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5楼2013-07-22 10:01:34
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laosam280

禁虫 (正式写手)
感谢参与，应助指数 +1
本帖内容被屏蔽
6楼2013-07-22 11:02:02
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gaob04

金虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
注意到
    sin(x)<=x<=tan(x),       0<=x<=PI/2;
其余按定义展开就是了。
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学会仰望心灵的星空
7楼2013-07-22 11:51:07
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ccyzrb

金虫 (小有名气)
引用回帖:
7楼: Originally posted by gaob04 at 2013-07-22 11:51:07
注意到
    sin(x)<=x<=tan(x),       0<=x<=PI/2;
其余按定义展开就是了。

我们都知道是对的，但高一的时候无理论说明。
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8楼2013-07-22 12:20:50
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ccyzrb

金虫 (小有名气)
引用回帖:
6楼: Originally posted by laosam280 at 2013-07-22 11:02:02
设x1<x2，将sin(x1)/x1=sin(x1-x2+x2)/x1，然后运算sin(x1)/x1-sin(x2)/x2，一次用三角恒等式展开第一项，之后用积化和差公式。高一的知识足够了，只是一般积化和差、和差化积公式不作考试要求。

积化和差和和差化积我们都可以推导，但好像证明不了。
关键是大家想想：tanx/x的单增性
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9楼2013-07-22 12:23:33
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laosam280

禁虫 (正式写手)
★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
ccyzrb: 金币+10, ★★★★★最佳答案, 已证 2013-07-23 13:40:43
本帖内容被屏蔽
10楼2013-07-23 11:24:36
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