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443708933木虫 (著名写手)
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作用量原理的两个问题
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 费曼写的作用量个路径积分里的两个小问题。第一个问题，我直接从拉格朗日方程入手，对最小L积分，然后取x=xa，但是想想，既然xa可以，xb不就也可以。所以想法不对，提示说从2-6出发。第二个问题的提示没看懂是什么意思，恳请理解的同学指点。 |
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walk1997
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2楼2013-06-15 18:43:53
【答案】应助回帖
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华丽的飘过: 金币+8, 3q 2013-06-23 01:49:23
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华丽的飘过: 金币+8, 3q 2013-06-23 01:49:23
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记号看不懂，建议楼主下次把记号说明附带上去。为此特地去下了本费曼的书，幸好楼主给出书名。不过是中文的，Y的，中文版公式2-13还打印错的，顿时蛋碎一地。 我是这么推到的。同时还有些问题。 首先几个概念，（楼主应该把这几个概念打出来的，不然看不懂啊） (1)x(t)满足x(ta)=xa;x(tb)=xb; (2)作用量S(t,x,x')，Scl是x满足Lagrange方程对应的S值，此时S(ta,tb,xa,xb)=L(ta,tb,xa,xb,t)在ta到tb上的积分； 第一问：（2-11）从右到左推到 注意到S(ta,tb,xa,xb)和S(t,x,x')的关系，x是体分布的，xa是端点分布。detla(x)【代表x的变分】和d(xa)【代表x的微分】是从属关系，因此依据提示利用（2-6）S的一阶变分式。 以xa为变量为例：S(ta,tb,xa,xb)应应该包含（2-6）的2项，第一项是关于d(xa)的线性项，系数就是我们要求的；第一项是关于detla(x)的线性积分式，次项是d(xa)的“高阶无穷小”，注意到x满足Lagrange方程，x的微小扰动对于方程也是微小的。因此求偏微分就是所求的结果。 第二问：（2-13）从右到左推到，关键在第二部分，使用带变量的积分式的求导公式。 注意到S(ta,tb,xa,xb)和L(ta,tb,xa,xb,t)（注意含有时间t）的关系，对S(ta,tb,xa,xb)关于tb求导分为两部分； 第一部分，关于积分域求导，即L(ta,tb,xa,xb,t),当t=tb的值。应该就是L(xb)； 第二部分，注意到tb与x（t）中的t的地位恒同。为什么？求极值曲线时，我们其实再求解两点边值问题，然后你懂的。因此第二部分又包含两部分， integral {（DL/Dx）* detla(x‘) + （DL/Dx’）*detla(x‘‘)},分部积分，就得到所要的结果。得注意下xb的导数其实就是d/dx {detla(x)} 在tb处的取值。 推到的时候会发现个问题，（朗道说过“物理中所谓的数学都是自欺欺人的”这句话吗？？  ）经典Newton方程求解的是初值问题，给出坐标及速度，解的唯一性一般是抗抗的； 最小作用原理，给出两点边值问题，给出2个坐标；Y的，对于后则在数学上解可能不唯一，可能无解，可能有无穷个解。因此对应的Scl是不是不唯一了。 |
3楼2013-06-15 22:22:53
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打了个电话，没注意审查，错误的记号一大堆 detla(x)=delta(x)，d(xa)=【delta(x)|t=ta】； 【第一项是关于detla(x)的线性积分式，次项是d(xa)的“高阶无穷小”】应该是 【第二项是关于delta(x)的线性积分式，因为包含Lagrange方程，所以是delta(x)的“高阶无穷小”，因而对于d(xa)也是小的】 d/dx {detla(x)}应该改为d/dt {delta(x)} integral 是ta到tb的定积分，DL/Dx是偏导数， 分布积分是关于delta(x‘‘)做的，delta(x‘)不动它，这样能再次得到Lagrange方程，然后再消去 最后，两点边值问题是对于x(ta)=xa;x(tb)=xb的Lagrange方程而言 |
4楼2013-06-15 23:18:25
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