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各位是否遇到过如下问题，见图，高中生都可看得懂，请教高手解决！ {Q99X4QKT3STPMI6WN(`T]I.jpg |
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hank612
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【答案】应助回帖
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I seriously doubt that c_n is a linear recursive sequence. See the following example. Let d_n be a new sequence defined by d_n = c_{n-1} + alpha_1 / alpha_0 * c_n + c_{n+1}. If c_n is linear recursive, as you questioned, then d_n is also a linear recursive sequence with the same linear relation SUM_{k=0}^8 gamma_k d_{n+k} = 0. http://en.wikipedia.org/wiki/Lin ... nstant_coefficients Now we let a_n = 1/4 * 4^n + 4 * 4^{-n}, b_n = 2^n + 2^{-n}. Consequently, the expression of d_n in the form of a_n and b_n is d_n= (b_{n+1}^2 - b_n^2) / a_{n+1} = (3*4^n - 3/4 * 4^{-n}) / (4^n + 4^{-n} ) =3 - (15/4) * ( 1/(16^n+1) ). Take look at the generating function of d_n, which is sum_{n=0}^infty d_n*x^n. Ignore the constant (3) and the scalar (15/4), the main term is of the form \sum_n (x^n/ (a^n+1) ) with a= 16. I do not believe (with probability >80%) that this summation function will ends up with a rational function, although I cannot prove it. You may construct your own example to give hints before you try to prove the assertion. |
4楼2013-07-13 02:48:02
hank612
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【答案】应助回帖
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我无法彻底解决你的问题,仅能提供一个可能努力的方向. 序列是线性递归的 当且仅当 生成函数是有理多项式. If x_n=a_1*x_{n-1} +...+a_k*x_{n-k}, then the degree of the denominator of the rational generating function is at most k. 故序列a_n是二次的, b_n是四次的,要求证明c_n是八次的. 利用alpha_2=alpha_0, it is easy to see that alpha_0*(b_{n+1}^2 - b_n^2)=a_{n+1}*(alpha_0 c_{n-1} +alpha_1 c_{n} + alpha_0 c_{n+1}). 然后我就被卡住了,冒似生成函数没法做除法. 抱歉. |
2楼2013-07-12 06:48:24
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