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北京石油化工学院2026年研究生招生接收调剂公告
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H_LG

银虫 (正式写手)

[求助] 低秩矩阵的自由度怎么算?

最近看到一篇文章上写到:
Suppose for simplicity that we wish to recover a square n * n matrix M of rank r. Such a matrix M can be represented by n^2 numbers, but it only has (2n - r)*r degrees of freedom.
不明白这个自由度怎么算的?请高手指教

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恕shu

银虫 (小有名气)

引用回帖:
2楼: Originally posted by weft at 2013-04-12 13:14:32
n阶方阵的秩等于r也就是等价于它的行秩等于r,因此,为了构造一个秩为r的方阵,可以先选r个线性无关的n维向量作为它的行向量,这就有n*r的自由度,另外剩下的n-r个行向量必须能用已选定的r个行向量线性表出,也就是 ...

原来是这样,学习了。
3楼2013-04-17 16:07:33
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weft

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与,应助指数 +1
H_LG: 金币+10, ★★★★★最佳答案 2013-04-18 12:35:16
n阶方阵的秩等于r也就是等价于它的行秩等于r,因此,为了构造一个秩为r的方阵,可以先选r个线性无关的n维向量作为它的行向量,这就有n*r的自由度,另外剩下的n-r个行向量必须能用已选定的r个行向量线性表出,也就是它们要分别能写成已选定的r个行向量的线性组合,每一个线性组合有r个系数,也就是有r个自由度,n-r个向量就有(n-r)*r个自由度,这样这个矩阵就能被确定下来了,所以一共的自由度是:n*r+(n-r)*r=(2n-r)*r. 而且这个结论可以推广到非方阵的情形。
2楼2013-04-12 13:14:32
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