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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 考博考研 » 高等数学不等式证明
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haixing2008

荣誉版主 (文坛精英)

[求助] 高等数学不等式证明

证明：当0
求详细过程，谢谢！

[ Last edited by haixing2008 on 2013-1-19 at 20:46 ]
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平平淡淡才是真！
1楼 2013-01-19 20:18:09
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yangrui123

金虫 (小有名气)
证明:令f(x)=(1/sin(x))^2-(1/x)^2
           f'(x)=2[(sinx)^3-x^3*cos(x)]/(sinx)^3/x^3
          在设g(x)=(sinx)^3/cos(x)-x^3
                计算可得 g(0)=g'(0)=g''(0)=g'''(0)=0,
g''''(x)=8*sin(x)*(3-cos(x)^2-2*cos(x)^6)/cos(x)^5>0
          从而由Taylor展开式可知g(x)=g''''(t)*x^4/4!>0，
      所以f'(x)=g(x)*cos(x)/(sinx)^3/x^3>0.
           即f(x)单调递增,所以f(x)
这个你看可以吗？
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乐观，自信，爱是我的生活态度，也希望以此能都影响大家
7楼2013-04-24 15:28:41
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wurongjun

专家顾问 (职业作家)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
haixing2008: 金币+50, ★★★★★最佳答案, 不错，非常感谢！ 2013-01-21 16:35:01
证明:令f(x)=(1/sin(x))^2-(1/x)^2
           f'(x)=2[(sinx)^3-x^3*cos(x)]/(sinx)^3/x^3
          在设g(x)=(sinx)^3-x^3*cos(x)
                计算可得 g(0)=g'(0)=g''(0)=...=g''''''(0)=0,g'''''''(0)=336>0(一到六阶导数在x=0处为零,七阶导大于零)
           所以g(x)>0，从而f'(x)>0.
           即f(x)单调递增,所以f(x)
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善恶到头终有报,人间正道是沧桑.
2楼2013-01-20 13:48:25
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wurongjun

专家顾问 (职业作家)
应该是:f(x)
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善恶到头终有报,人间正道是沧桑.
3楼2013-01-20 15:19:38
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haixing2008

荣誉版主 (文坛精英)
引用回帖:
2楼: Originally posted by wurongjun at 2013-01-20 13:48:25
证明:令f(x)=(1/sin(x))^2-(1/x)^2
           f'(x)=2/(sinx)^3/x^3
          在设g(x)=(sinx)^3-x^3*cos(x)
                计算可得 g(0)=g'(0)=g''(0)=...=g''''''(0)=0,g'''''''(0)=336>0(一到六阶导数 ...

对于g(x)时，为什么只考虑0点呀？其他点呢，呵呵
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平平淡淡才是真！
4楼2013-01-21 17:31:50
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