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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 求助高手！！！举例说明：度量空间中的有界闭集不一定是紧集。
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qiong2012

金虫 (初入文坛)

[求助] 求助高手！！！举例说明：度量空间中的有界闭集不一定是紧集。

度量空间中的有界闭集不一定是紧集，求例子！！！
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1楼 2012-11-23 23:25:08
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

SHUXUEKAOYAN

金虫 (初入文坛)
设(X，d)是离散度量空间，定义d(x,x)=0,d(x,y)=1,x不等于y;则d(X)=1整个空间X是有界闭集。若X={1,2,3，.......}X=u{i}i=1,2,3,...,{i}为开集，但X的此覆盖不存在有限子覆盖，即X不紧！！！
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9楼2013-03-02 13:12:53
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普通回帖

sskkyy

银虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
qiong2012: 金币+3, ★★★很有帮助 2012-11-24 23:44:20
可否这样：
设A为无限集合。定义度量d(x,y)=1 如果x,y不同；d(x,y)=0如果x=y.
那么A包含在A中任意元素的单位球内，但是A不是紧集，因为A为离散拓扑空间。
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2楼2012-11-24 06:41:41
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sdcyj72

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★
感谢参与，应助指数 +1
qiong2012: 金币+2, ★有帮助 2012-11-24 23:43:45
无限维赋范线性空间的单位球面都不是紧的
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3楼2012-11-24 07:45:49
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jml506

铁杆木虫 (著名写手)
由黎斯引理即可得到结果
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大胆假设，小心实验验证
4楼2012-11-24 15:14:01
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chuanchua

新虫 (初入文坛)
做作业证明的一道题：设有理数集Q为度量空间，定义度量d(p,q)=|p-q|, E是由其平方大于2小于3的有理数构成的集合，则E是有界闭集，但是E不是紧的。
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5楼2012-11-25 00:40:32
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sskkyy

银虫 (正式写手)
引用回帖:
5楼: Originally posted by chuanchua at 2012-11-25 00:40:32
做作业证明的一道题：设有理数集Q为度量空间，定义度量d(p,q)=|p-q|, E是由其平方大于2小于3的有理数构成的集合，则E是有界闭集，但是E不是紧的。

这个应该是紧集吧？因为这样Q可以看做通常实数R的子空间了。
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6楼2012-11-25 05:34:15
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kyzcf

铁虫 (初入文坛)
小l^2中的单位球面是有界集，但任意两点间的距离是2^(1/2)，故不列紧，当然不紧
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7楼2012-11-27 20:55:05
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kyzcf

铁虫 (初入文坛)
引用回帖:
7楼: Originally posted by kyzcf at 2012-11-27 20:55:05
小l^2中的单位球面是有界集，但任意两点间的距离是2^(1/2)，故不列紧，当然不紧

小l^2就是平方可和数列的全体，按照对应分量相减的平方再求和然后后开根号定义的距离空间。
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8楼2012-11-27 20:59:10
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a394733890

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
7楼: Originally posted by kyzcf at 2012-11-27 20:55:05
小l^2中的单位球面是有界集，但任意两点间的距离是2^(1/2)，故不列紧，当然不紧

任意两点的距离怎么会是√2?你考虑(√3/2，1/2，0，0，…)和(0，1/2，√3/2，0，0，…)
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10楼2014-10-25 09:22:34
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