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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 非线性方程组问题
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majunchi20

银虫 (小有名气)

[求助] 非线性方程组问题

非齐次线性方程组Ax=b中，A是方阵，b是列向量。
若A的行列式为0，A的转置的核与b正交，则方程组有解，且核的维数=任意系数的个数。
若A的行列式为0，A的转置的核与b不正交，则方程组无解。

上面的内容不太理解，请知道的高手指导。
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天道酬勤。
1楼 2012-10-30 19:32:41
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秋雨飞叶

木虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
Ax=b 有解，当切仅当两边同时左乘一个可逆矩阵之后有解。因此可以假定A是一个上三角矩阵且当 1=rank (A) 时 a_{ii}=0。这个时候你会看到，如果方程组有解，那么b的后 n-rank(A) 的行向量必须为0,这里假设A是 n*n 方阵。解A^Ty=0, 你会发现y的前 rank(A) 个行向量为0。这样如果Ax=b 有解，当切仅当 y^Tb=0 对于所有的y满足方称A^Ty=0. 这里^T为矩阵的转置。

举个例子，设 A 为一个 2*2矩阵，且第一行非零，第二行为零，这时候你可以清楚的验证上面的结论。
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2楼2012-10-31 14:08:39
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majunchi20

银虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by 秋雨飞叶 at 2012-10-31 14:08:39
Ax=b 有解，当切仅当两边同时左乘一个可逆矩阵之后有解。因此可以假定A是一个上三角矩阵且当 1=<i=< rank(A)是 a_{ii｝不等于0，当i>rank (A) 时 a_{ii}=0。这个时候你会看到，如果方程组有解，那么b的后  ...

非常感谢你的回复，但是有个地方我还是没太明白，“解A^Ty=0, 你会发现y的前 rank(A) 个行向量为0。这样如果Ax=b 有解，当切仅当 y^Tb=0 对于所有的y满足方称A^Ty=0.” 能否再多讲一下，多谢多谢。
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天道酬勤。
3楼2012-11-03 09:03:02
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秋雨飞叶

木虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
majunchi20: 金币+5, ★★★★★最佳答案 2012-11-04 09:25:44
A为上三角， A^T 为下三角，你把矩阵写一下就看到了。取个2*2的上三角矩阵试试。
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4楼2012-11-03 09:54:50
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majunchi20

银虫 (小有名气)
引用回帖:
4楼: Originally posted by 秋雨飞叶 at 2012-11-03 09:54:50
A为上三角， A^T 为下三角，你把矩阵写一下就看到了。取个2*2的上三角矩阵试试。

明白了，多谢多谢。
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天道酬勤。
5楼2012-11-04 09:25:26
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