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majunchi20

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[求助] 非线性方程组问题

非齐次线性方程组Ax=b中，A是方阵，b是列向量。
若A的行列式为0，A的转置的核与b正交，则方程组有解，且核的维数=任意系数的个数。
若A的行列式为0，A的转置的核与b不正交，则方程组无解。

上面的内容不太理解，请知道的高手指导。

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1楼2012-10-30 19:32:41

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秋雨飞叶

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【答案】应助回帖

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Ax=b 有解，当切仅当两边同时左乘一个可逆矩阵之后有解。因此可以假定A是一个上三角矩阵且当 1=rank (A) 时 a_{ii}=0。这个时候你会看到，如果方程组有解，那么b的后 n-rank(A) 的行向量必须为0,这里假设A是 n*n 方阵。解A^Ty=0, 你会发现y的前 rank(A) 个行向量为0。这样如果Ax=b 有解，当切仅当 y^Tb=0 对于所有的y满足方称A^Ty=0. 这里^T为矩阵的转置。

举个例子，设 A 为一个 2*2矩阵，且第一行非零，第二行为零，这时候你可以清楚的验证上面的结论。

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2楼2012-10-31 14:08:39

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majunchi20

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引用回帖:

2楼: Originally posted by 秋雨飞叶 at 2012-10-31 14:08:39
Ax=b 有解，当切仅当两边同时左乘一个可逆矩阵之后有解。因此可以假定A是一个上三角矩阵且当 1=<i=< rank(A)是 a_{ii｝不等于0，当i>rank (A) 时 a_{ii}=0。这个时候你会看到，如果方程组有解，那么b的后 ...

非常感谢你的回复，但是有个地方我还是没太明白，“解A^Ty=0, 你会发现y的前 rank(A) 个行向量为0。这样如果Ax=b 有解，当切仅当 y^Tb=0 对于所有的y满足方称A^Ty=0.” 能否再多讲一下，多谢多谢。

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天道酬勤。

3楼2012-11-03 09:03:02

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