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我要飞

铁虫 (正式写手)

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[求助] 如何证明级数的和大于零

如何证明级数的和大于零

$\sum\limits_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}(k^{2-a}-(k-1)^{2-a})>0$

其中 $1<a<2.$

[ Last edited by 我要飞 on 2012-10-2 at 22:16 ]

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1楼 2012-10-02 22:14:53

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马乃洋

新虫 (初入文坛)

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【答案】应助回帖

Proof
∑_(k=1)^∞▒〖(-1)^(k-1) (k^(2-a)-(k-1)^(2-a) )=[1-0]-[ 2^(2-a)-1]+[3^(2-a)-2^(2-a)]-[4^(2-.a)-3^(2-a)]+⋯
=[2.1-(0+2^(2-a))]+[2.3^(2-a)-(2^(2-a)+4^(2-a))]+[2.5^(2-.a)-((4^(2-a)+6^(2-a))]+[2.7^(2-.a)-(6^(2-a)+8^(2-a)]+⋯
It is obvious the first term [2.1-(0+2^(2-a))] is positive. We’ll prove every term in the square brackets is positive.
An arbitrary term in a square bracket can be expressed as
[2k^(2-a)-((k-1)^(2-a)+(k+1)^(2-a))], here k is an odd number.
Let’s consider a function y=x^(2-a), x>0, 1 Since y’=(2-a)x1-a > 0 and y’’=(2-a)(1-a)x-a < 0, y is a monotonically increasing concave function.
If you sketch a graph of y=x^(2-a) (I have the graph available, but I do not know how to post it), it is obvious that
[2k^(2-a)>((k-1)^(2-a)+(k+1)^(2-a))]
Or
[2k^(2-a)-((k-1)^(2-a)+(k+1)^(2-a))]>0
As a result, the original sum is positive.
□