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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 数学分析老师课上提出的问题（关于级数收敛与发散）
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月下独酌jjj

新虫 (初入文坛)

[求助] 数学分析老师课上提出的问题（关于级数收敛与发散）

判断级数收敛于发散的时候是可以通过去括号或者加括号实现的。老师上课给出三句话，1：收敛级数加括号不改变级数的收敛性；2：发散级数去括号不改变级数的发散性;3:去括号什么时候不改变收敛性？求关于第三问的解答~~
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1楼 2012-09-11 16:10:13
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回帖置顶 ( 共有1个 )

jfili

金虫 (正式写手)
月下独酌jjj: 回帖置顶 2012-09-20 22:08:26
引用回帖:
5楼: Originally posted by 月下独酌jjj at 2012-09-13 22:07:47
1,2能不能那个给个证明啊？...

证明1、原级数设为\sum a_n，加括号后的级数设为\sum b_n。其中对任意b_n，存在a_{n1}，a_{n2}，……，a_{nk}，使得b_n为这几项的和，其中n1,n2,....nk表示与n有关的指标。
如果原级数收敛，则对任意\varepsilon，存在N，使得当n>N,m为自然数时，有|a_n+a_{n+1}+...a_{n+m}|<\varepsilon。
对于加括号后的级数，存在自然数K，使得b_K后面的项的构成中原{a_n}中的项下标都大于N ，即：k>K时，k1,k2...>N，所以
|b_{k}+b_{k+1}+...+b_{k+l}|<\varepsilon，由柯西收敛准则知此级数收敛。
2的证明和这个差不多
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9楼2012-09-14 19:24:49
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普通回帖

阿_拉

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★
感谢参与，应助指数 +1
小雨萌萌: 金币+1, 3Q 2012-09-14 19:17:08
我能证明：加了括号的正数项级数去括号后不改变收敛性。
但是不能证明这个条件是不是过松还是刚好

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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frado
2楼2012-09-12 21:32:25
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jfili

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★
感谢参与，应助指数 +1
小雨萌萌: 金币+1, 3Q 2012-09-14 19:17:15
1、2可以用柯西收敛定理来证明
3只是找一个充分条件？级数中各项及去括号后各项如果都是正的，则加、去括号不改变级数的敛散性。只是这个条件太强
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3楼2012-09-13 10:16:57
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
★ ★
小雨萌萌: 金币+2, 3Q 2012-09-14 19:17:23
菲赫金哥尔茨的书里面有讲：如果去括号前，括号内的各项符号相同，则去括号后不改变收敛性。

例如 (a+b)+(-c-d-e)+(f+g)+(-h-i-j-k)+....
与 a+b-c-d-e+f+g-h-i-j-k+...
收敛性一样。
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4楼2012-09-13 16:53:21
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月下独酌jjj

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
3楼: Originally posted by jfili at 2012-09-13 10:16:57
1、2可以用柯西收敛定理来证明
3只是找一个充分条件？级数中各项及去括号后各项如果都是正的，则加、去括号不改变级数的敛散性。只是这个条件太强

1,2能不能那个给个证明啊？
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5楼2012-09-13 22:07:47
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月下独酌jjj

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
4楼: Originally posted by Pchief at 2012-09-13 16:53:21
菲赫金哥尔茨的书里面有讲：如果去括号前，括号内的各项符号相同，则去括号后不改变收敛性。

例如 (a+b)+(-c-d-e)+(f+g)+(-h-i-j-k)+....
与 a+b-c-d-e+f+g-h-i-j-k+...
收敛性一样。

这个我也看到了，但是证明有难度诶~~
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6楼2012-09-13 22:08:28
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wgdxidname

木虫 (著名写手)
我觉得级数项单调的话， 去括号不改变收敛性
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四大皆空
7楼2012-09-13 23:58:18
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
引用回帖:
6楼: Originally posted by 月下独酌jjj at 2012-09-13 22:08:28
这个我也看到了，但是证明有难度诶~~...

书里面本身就有简要提示，自己去看看吧
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8楼2012-09-14 08:31:27
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