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月下独酌jjj

新虫 (初入文坛)

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[求助] 数学分析老师课上提出的问题（关于级数收敛与发散）

判断级数收敛于发散的时候是可以通过去括号或者加括号实现的。老师上课给出三句话，1：收敛级数加括号不改变级数的收敛性；2：发散级数去括号不改变级数的发散性;3:去括号什么时候不改变收敛性？求关于第三问的解答~~

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1楼 2012-09-11 16:10:13

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jfili

金虫 (正式写手)

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月下独酌jjj: 回帖置顶 2012-09-20 22:08:26

引用回帖:

5楼: Originally posted by 月下独酌jjj at 2012-09-13 22:07:47
1,2能不能那个给个证明啊？...

证明1、原级数设为\sum a_n，加括号后的级数设为\sum b_n。其中对任意b_n，存在a_{n1}，a_{n2}，……，a_{nk}，使得b_n为这几项的和，其中n1,n2,....nk表示与n有关的指标。
如果原级数收敛，则对任意\varepsilon，存在N，使得当n>N,m为自然数时，有|a_n+a_{n+1}+...a_{n+m}|<\varepsilon。
对于加括号后的级数，存在自然数K，使得b_K后面的项的构成中原{a_n}中的项下标都大于N ，即：k>K时，k1,k2...>N，所以
|b_{k}+b_{k+1}+...+b_{k+l}|<\varepsilon，由柯西收敛准则知此级数收敛。
2的证明和这个差不多