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X^2+Y^2+Z^2=7W^2
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| 如题，证明此等式没有整数解。 （提示，用模8来做） |
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Without loss of generality, suppose the common divisor of X, Y, Z, W is 1, then some of them have to be odd numbers. Notice that mod((2k+1)^2,8)=1, if W is odd, then mod(RHS, 8)=7, no such X,Y,Z that mod(X^2+Y^2+Z^2,8)=7, so W has to be even. Since the common divisor of X, Y, Z, W is 1, two of X, Y, Z have to be odd, therefore, mod(LHS, 8)=2 or 6, which is also impossible. QED. |
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