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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » “北约”高校2011年自主招生题目求解
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goodsally

铁虫 (初入文坛)

[求助] “北约”高校2011年自主招生题目求解

有一道这样的题目
X-1 的绝对值+2X-1的绝对值+3X-1的绝对值+4X-1的绝对值......一直加到2011X-1的绝对值 求最小值是多少？
如何求解？
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1楼 2011-11-19 19:25:36
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Jackie2011

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★
lovibond(金币+1): 鼓励交流 2011-11-20 10:01:43
借助不等式|a|+|b|>=|a+b|的推广，后者取零值即所求的x=1/1006.
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学好外语，不忘数学！
2楼2011-11-19 21:35:17
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yangbo211

禁虫 (正式写手)
本帖内容被屏蔽
3楼2011-11-19 23:38:43
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ma1274640652

木虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★
小雨萌萌(金币+2): 应助回帖 2011-11-30 09:18:54
应该是让最中间的那个值为0，然后加和是最小的吧。2011+1=2012.2012/2=1006
所以X=1/1006时和最小。可以用不等式放缩法来证明的
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靓靓
4楼2011-11-20 14:03:10
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xxxfield

银虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

X=1/1006肯定不对。
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5楼2011-11-20 23:41:47
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thematicsroy

新虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

分段去绝对值然后求导，得增减性。算了一下，应该是X=1/1422处取最小值
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6楼2011-11-21 10:54:08
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yuannian82

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
小雨萌萌(金币+5): 应助回帖 2011-11-30 09:19:13
不妨设，那么

由于S(x)的单调性在n固定时与x无关，所以最小值为或者。


所以两个是一样的，不妨考虑，由均值不等式，和，所以在取最小值4854.6906。
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7楼2011-11-21 21:23:03
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jfili

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★
小雨萌萌(金币+3): 3Q 2011-11-30 09:19:32
说说我的想法：这里有2011个关键的点，分别为1,1/2,1/3,....1/2001，
让x从0开始增大：在跨过最小的点之前，x前的系数为负的，所以单调减小，每跨过一个点，x的系数都会增大，如果增加到系数大于零后，x才是单调增加的。所以我们只需找到某个点1/k，使得x<1/k前x的系数为负，跨过1/n后，系数大于或等于零，则在x=1/k时时取得最小值
在x<1/k时，x的系数为：F(k)=－(2001+2000+..+k)+(k-1+k-2+...+1)
只需F(k)<0,F(k-1)>=0时的k值

这个应该很容易算了吧
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8楼2011-11-22 21:25:35
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zycj

银虫 (初入文坛)
个人感觉 四楼 说得应该对。我感觉这个问题不要考虑那么复杂。北约高校找生题不像咱们高考。
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9楼2011-11-29 15:08:31
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