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goodsally

铁虫 (初入文坛)

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[求助] “北约”高校2011年自主招生题目求解

有一道这样的题目
X-1 的绝对值+2X-1的绝对值+3X-1的绝对值+4X-1的绝对值......一直加到2011X-1的绝对值求最小值是多少？
如何求解？

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1楼2011-11-19 19:25:36

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yuannian82

金虫 (小有名气)

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
小雨萌萌(金币+5): 应助回帖 2011-11-30 09:19:13

不妨设 ${1\over n+1}\leq x \leq {1\over n}$ ，那么
$S(x)=\sum_{i=1}^n(1-ix)+\sum_{i=n+1}^{2011}(ix-1)$
由于S(x)的单调性在n固定时与x无关，所以最小值为 $S_1=S({1\over n+1})$ 或者 $S_1=S({1\over n})$ 。
$S_1=2010+(n+1)+{2011\times 1006 \over n+1}\geq 2010 + 2\sqrt{2011\times 1006}$
$S_2=2010+n+{2011\times 1006 \over n}\geq 2010 + 2\sqrt{2011\times 1006}$
所以两个是一样的，不妨考虑 $S_2$ ，由均值不等式， $n^2=2011\times 1006, n=1422.35[latex]时取最小。<br /> 由连续性，只要比较[latex]S({1\over 1422})=4854.6906$ 和 $S({1\over 1423})=4854.6908$ ，所以在 $x={1\over 1422}$ 取最小值4854.6906。