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goodsally

铁虫 (初入文坛)

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[求助] “北约”高校2011年自主招生题目求解

有一道这样的题目
X-1 的绝对值+2X-1的绝对值+3X-1的绝对值+4X-1的绝对值......一直加到2011X-1的绝对值求最小值是多少？
如何求解？

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1楼 2011-11-19 19:25:36

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yuannian82

金虫 (小有名气)

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
小雨萌萌(金币+5): 应助回帖 2011-11-30 09:19:13

不妨设 ${1\over n+1}\leq x \leq {1\over n}$ ，那么
$S(x)=\sum_{i=1}^n(1-ix)+\sum_{i=n+1}^{2011}(ix-1)$
由于S(x)的单调性在n固定时与x无关，所以最小值为 $S_1=S({1\over n+1})$ 或者 $S_1=S({1\over n})$ 。
$S_1=2010+(n+1)+{2011\times 1006 \over n+1}\geq 2010 + 2\sqrt{2011\times 1006}$
$S_2=2010+n+{2011\times 1006 \over n}\geq 2010 + 2\sqrt{2011\times 1006}$
所以两个是一样的，不妨考虑 $S_2$ ，由均值不等式， $n^2=2011\times 1006, n=1422.35[latex]时取最小。<br /> 由连续性，只要比较[latex]S({1\over 1422})=4854.6906$ 和 $S({1\over 1423})=4854.6908$ ，所以在 $x={1\over 1422}$ 取最小值4854.6906。

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7楼2011-11-21 21:23:03

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Jackie2011

木虫 (正式写手)

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【答案】应助回帖

★
lovibond(金币+1): 鼓励交流 2011-11-20 10:01:43

借助不等式|a|+|b|>=|a+b|的推广，后者取零值即所求的x=1/1006.

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学好外语，不忘数学！

2楼2011-11-19 21:35:17

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yangbo211

禁虫 (正式写手)

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3楼2011-11-19 23:38:43

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ma1274640652

木虫 (小有名气)

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【答案】应助回帖

★ ★
小雨萌萌(金币+2): 应助回帖 2011-11-30 09:18:54

应该是让最中间的那个值为0，然后加和是最小的吧。2011+1=2012.2012/2=1006
所以X=1/1006时和最小。可以用不等式放缩法来证明的

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靓靓

4楼2011-11-20 14:03:10

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