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goodsally

铁虫 (初入文坛)

[求助] “北约”高校2011年自主招生题目求解

有一道这样的题目
X-1 的绝对值+2X-1的绝对值+3X-1的绝对值+4X-1的绝对值......一直加到2011X-1的绝对值 求最小值是多少?
如何求解?
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Jackie2011

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★
lovibond(金币+1): 鼓励交流 2011-11-20 10:01:43
借助不等式|a|+|b|>=|a+b|的推广,后者取零值即所求的x=1/1006.
学好外语,不忘数学!
2楼2011-11-19 21:35:17
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yangbo211

禁虫 (正式写手)

本帖内容被屏蔽

3楼2011-11-19 23:38:43
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ma1274640652

木虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★
小雨萌萌(金币+2): 应助回帖 2011-11-30 09:18:54
应该是让最中间的那个值为0,然后加和是最小的吧。2011+1=2012.2012/2=1006
所以X=1/1006时和最小。可以用不等式放缩法来证明的
靓靓
4楼2011-11-20 14:03:10
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xxxfield

银虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

X=1/1006肯定不对。
5楼2011-11-20 23:41:47
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thematicsroy

新虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

分段去绝对值然后求导,得增减性。算了一下,应该是X=1/1422处取最小值
6楼2011-11-21 10:54:08
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yuannian82

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
小雨萌萌(金币+5): 应助回帖 2011-11-30 09:19:13
不妨设,那么

由于S(x)的单调性在n固定时与x无关,所以最小值为或者。


所以两个是一样的,不妨考虑,由均值不等式,和,所以在取最小值4854.6906。
7楼2011-11-21 21:23:03
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jfili

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★
小雨萌萌(金币+3): 3Q 2011-11-30 09:19:32
说说我的想法:这里有2011个关键的点,分别为1,1/2,1/3,....1/2001,
让x从0开始增大:在跨过最小的点之前,x前的系数为负的,所以单调减小,每跨过一个点,x的系数都会增大,如果增加到系数大于零后,x才是单调增加的。所以我们只需找到某个点1/k,使得x<1/k前x的系数为负,跨过1/n后,系数大于或等于零,则在x=1/k时时取得最小值
在x<1/k时,x的系数为:F(k)=-(2001+2000+..+k)+(k-1+k-2+...+1)
只需F(k)<0,F(k-1)>=0时的k值

这个应该很容易算了吧
8楼2011-11-22 21:25:35
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zycj

银虫 (初入文坛)

个人感觉 四楼 说得应该对。我感觉这个问题不要考虑那么复杂。北约高校找生题不像咱们高考。
9楼2011-11-29 15:08:31
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