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hzsh2009

铜虫 (小有名气)

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[求助] 关于subgroup的证明

let H be a subgroup of order 2 in G.
Show that NG(H)= CG(H). 即normalzier和centralizer相等
Deduce that if NG(H)=G then H<=Z(G)

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1楼 2011-09-26 22:36:13

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sdlmm

银虫 (初入文坛)

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专业: 代数学

【答案】应助回帖

★ ★
soliton923(金币+2): 鼓励参与讨论！ 2011-09-28 22:58:01
hzsh2009(金币+10): 2011-09-29 05:18:43

Suppose H={e,y} be the order 2 subgp, then first easily we have C(H)<=N(H).Conversly, we have that for any x in N(H), xH=Hx={x, xy}={x,yx}, so we get xy=yx, i.e., x is in C(H). This implies that C(H)=N(H).
As to the second question, if N(H)=G, then this implies C(H)=G by the proof above, i.e., any element in G is commutative with y, that is y is in the center of G, this ends the proof.

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2楼2011-09-28 13:34:25

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zhencai688

新虫 (小有名气)

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性别: GG
专业: 代数学

soliton923: 您也可以写一个出来试一试哈~~^_^ 2011-09-28 22:58:29

引用回帖:

2楼: Originally posted by sdlmm at 2011-09-28 13:34:25:
Suppose H={e,y} be the order 2 subgp, then first easily we have C(H)<=N(H).Conversly, we have that for any x in N(H), xH=Hx={x, xy}={x,yx}, so we get xy=yx, i.e., x is in C(H). This implies that ...

证明的不错方法很基本但很简练！

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3楼2011-09-28 21:17:34

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