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KZ1425

木虫 (著名写手)

[求助] n阶导数疑问

书上说,如果函数f(x)在点x处具有n阶导数,那么f(x)在点x的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数。我的疑问是,为什么是x点的某一邻域而不是点x具有一切低于n阶的导数?因为f'(x0)存在,而在x=x0的去心邻域内f'(x0)不一定不存在。
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lizhmath

金虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

★ ★ ★
soliton923(金币+3): 谢谢参与讨论~~ 2011-09-20 21:35:17
连续和求导都是局部概念。回忆一个函数f(x)在x=a处的导数定义:
如果(f(x)-f(a))/(x-a)当x->a时有有限极限,那么就称f在x=a处可导,
该极限值称为f在x=a处的导数,记为f'(a)。
所以,f必须在a的近旁,包括a点有定义,才能讨论上面的极限。
n阶导数是用n-1阶导数定义的,于是要讲在x=a处的n阶导数,
在a的近旁,包括a点,f都要有n-1阶导数。
2楼2011-09-20 20:06:48
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KZ1425

木虫 (著名写手)

引用回帖:
2楼: Originally posted by lizhmath at 2011-09-20 20:06:48:
连续和求导都是局部概念。回忆一个函数f(x)在x=a处的导数定义:
如果(f(x)-f(a))/(x-a)当x->a时有有限极限,那么就称f在x=a处可导,
该极限值称为f在x=a处的导数,记为f'(a)。
所以,f必须在a的近旁,包 ...

设f(x)=x^2*D(x),D(x)为狄利克雷函数,则f'(0)=0,所以f''(0)=0,但在x=0的邻域,f'(x)不存在。这个例子符合如果函数f(x)在点x处具有n阶导数(这个例子中是2阶),那么f(x)在点x的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数(在这个例子中是1阶),但这例子中在x=0的邻域里f'(x)不存在,这不是矛盾了吗?
3楼2011-09-20 21:14:30
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xuyx_78

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★
soliton923(金币+1): 谢谢参与讨论~~ 2011-09-20 23:19:46
在x=0的去心邻域内f'(x)不存在,那么f''(0)=0是根据什么得到的呢?
4楼2011-09-20 21:49:56
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KZ1425

木虫 (著名写手)

是因为邻域包括x0这点的缘故吗?!求高手解答
5楼2011-09-20 22:05:02
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xuyx_78

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

在考虑函数在x-->x0时的极限时,不考虑函数在x0有无定义,用的邻域是去心邻域不包括x0;在研究函数的连续性及可微性时用的邻域是含心邻域,包括x0.
6楼2011-09-20 22:15:30
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KZ1425

木虫 (著名写手)

引用回帖:
6楼: Originally posted by xuyx_78 at 2011-09-20 22:15:30:
在考虑函数在x-->x0时的极限时,不考虑函数在x0有无定义,用的邻域是去心邻域不包括x0;在研究函数的连续性及可微性时用的邻域是含心邻域,包括x0.

“如果函数f(x)在点x处具有n阶导数,那么f(x)在点x的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数。”中没有说去心邻域,应该“心”对于这个结论是很必要的吧?因为某些函数在x=x0处有导数,但在x=x0的去心邻域没有导数。
7楼2011-09-20 22:26:55
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lizhmath

金虫 (初入文坛)

引用回帖:
6楼: Originally posted by xuyx_78 at 2011-09-20 22:15:30:
在考虑函数在x-->x0时的极限时,不考虑函数在x0有无定义,用的邻域是去心邻域不包括x0;在研究函数的连续性及可微性时用的邻域是含心邻域,包括x0.

就如这位说的。如果还不是很明白,请把
(1)函数的极限
(2)函数在某点处的连续性
(3)函数在某点处的导数
这三个定义放在一起好好比较一下。

上面楼主举的例子f '(0)存在,计算f ''(0)时需要用到x=0近旁的f '(x),以及f '(0),
按照导数的定义计算,但是如你所说,f '(x)不存在,所以就不能计算f ''(0)了。
8楼2011-09-21 11:20:01
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