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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » n阶导数疑问
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KZ1425

木虫 (著名写手)

[求助] n阶导数疑问

书上说，如果函数f（x）在点x处具有n阶导数，那么f（x）在点x的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数。我的疑问是，为什么是x点的某一邻域而不是点x具有一切低于n阶的导数？因为f'(x0)存在，而在x=x0的去心邻域内f'(x0)不一定不存在。
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1楼 2011-09-20 19:33:03
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xuyx_78

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

在考虑函数在x-->x0时的极限时，不考虑函数在x0有无定义，用的邻域是去心邻域不包括x0;在研究函数的连续性及可微性时用的邻域是含心邻域，包括x0.
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6楼2011-09-20 22:15:30
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lizhmath

金虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

★ ★ ★
soliton923(金币+3): 谢谢参与讨论~~ 2011-09-20 21:35:17
连续和求导都是局部概念。回忆一个函数f(x)在x＝a处的导数定义：
如果(f(x)-f(a))/(x-a)当x->a时有有限极限，那么就称f在x＝a处可导，
该极限值称为f在x＝a处的导数，记为f'(a)。
所以，f必须在a的近旁，包括a点有定义，才能讨论上面的极限。
n阶导数是用n－1阶导数定义的，于是要讲在x＝a处的n阶导数，
在a的近旁，包括a点，f都要有n－1阶导数。
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2楼2011-09-20 20:06:48
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KZ1425

木虫 (著名写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by lizhmath at 2011-09-20 20:06:48:
连续和求导都是局部概念。回忆一个函数f(x)在x＝a处的导数定义：
如果(f(x)-f(a))/(x-a)当x->a时有有限极限，那么就称f在x＝a处可导，
该极限值称为f在x＝a处的导数，记为f'(a)。
所以，f必须在a的近旁，包 ...

设f（x）=x^2*D（x），D（x）为狄利克雷函数，则f'（0）=0，所以f''（0）=0，但在x=0的邻域，f'（x）不存在。这个例子符合如果函数f（x）在点x处具有n阶导数（这个例子中是2阶），那么f（x）在点x的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数（在这个例子中是1阶），但这例子中在x=0的邻域里f'（x）不存在，这不是矛盾了吗？
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3楼2011-09-20 21:14:30
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xuyx_78

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★
soliton923(金币+1): 谢谢参与讨论~~ 2011-09-20 23:19:46
在x=0的去心邻域内f'(x)不存在，那么f''(0)=0是根据什么得到的呢？
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4楼2011-09-20 21:49:56
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