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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 拓扑空间
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ghw_nit

铁杆木虫 (正式写手)

[求助] 拓扑空间

最近在看函数论，里面涉及到了拓扑空间，给了一大堆的概念以及结论，但是我还是不理解定义了这种概念是要解决什么问题的呢?有人可以给解释一下么。就像我们定义度量空间以后，就可以有连续这样的概念了，之后就可以讨论与之相关的映射了。
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ghw_nit

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1楼 2011-09-08 20:01:07
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ghw_nit

铁杆木虫 (正式写手)
就是要定义拓扑空间的意义是什么呢？
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2楼2011-09-08 20:01:52
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lizhmath

金虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

★ ★
小雨萌萌(金币+2): 谢谢哦~ 2011-09-13 20:22:26
我的理解如下。要研究空间之间的关系，就要考虑映射。通常映射应该有某种“连续性”，
而连续性是一种局部的性质，即在一点的近旁考虑，
所以要有所谓的领域（离得很近的地方）的概念，这些就要拓扑来抽象描述。
在拓扑空间上就可以讨论连续性。比如度量空间就是一种特殊的拓扑空间。
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3楼2011-09-08 20:22:28
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ghw_nit

铁杆木虫 (正式写手)
我现在的疑问是既然我们在度量空间上已经可以讨论“连续性，邻域”这样的概念了，为什么还要引入拓扑空间这样的概念呢，有什么好处么。
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4楼2011-09-08 20:24:42
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lizhmath

金虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

ghw_nit(金币+5): 谢谢 2011-09-08 21:16:40
哦，这是由于很多空间的拓扑不能由度量得到，和通常的度量空间相差很大。
这样就可以研究更多的空间的关系了，而不必局限于度量空间了。
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5楼2011-09-08 20:49:19
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purezhang

金虫 (著名写手)
★ ★
小雨萌萌(金币+2): 谢谢哦~ 2011-09-13 20:22:38
引用回帖:
4楼: Originally posted by ghw_nit at 2011-09-08 20:24:42:
我现在的疑问是既然我们在度量空间上已经可以讨论“连续性，邻域”这样的概念了，为什么还要引入拓扑空间这样的概念呢，有什么好处么。

如果你需要研究的这间里没有度量，或都没法定义度量，
但可以定以好“开集” 并满足相就条件而成为一个拓扑空间，
那么对拓扑空间的任何一般性定理都可以用到你需要研究的
这个空间，多省事啊。
数学有时候就是这样子，学些很抽像的东西，具体应用到很实际的地方，
这里可以用，那里也可以用。
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6楼2011-09-08 22:40:47
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希望与梦想-9

新虫 (初入文坛)
★ ★
小雨萌萌(金币+2): 谢谢哦~ 2011-09-13 20:22:49
以下是我个人的理解：
我想告诉你为什么拓扑空间也有连续性概念， 这是因为在我们现阶段所接触的连续性是通过距离来刻画的，而 有些 不能通过距离来刻画（如在所讨论的空间不能定义距离 或 没有距离 或所讨论的空间是不可数的），只能通过拓扑空间中领域（注意：拓扑空间中的领域 与距离空间中领域的定义不一样）来刻画。

距离空间一定是拓扑空间，距离空间中的拓扑为 距离空间中所有开球的全体。
拓扑空间不一定是距离空间。
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7楼2011-09-09 12:57:42
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ghw_nit

铁杆木虫 (正式写手)
送鲜花一朵
谢谢你的解释，我大概有些懂了，不过还是要自己努力看呀，有问题可以直接向您请教么？
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8楼2011-09-09 18:08:18
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sukiyq

木虫 (小有名气)
★ ★ ★
小雨萌萌(金币+3): 谢谢~ 2011-09-13 20:23:03
我随便说说...一个数学理论的定义中的条件，在满足够用的情况下应该是越少越好越抽象越好，因为条件越少越抽象，适用范围就越广。就拿连续性的定义来说，楼上指出度量空间是一种特殊的拓扑空间，假如连续性的定义用“度量”来刻画，那这个定义也就只能适用于度量空间，对于不可度量的拓扑空间这个定义就不能用了，但是如果连续性只用开集来刻画，“开集的原像是开集”的定义就对所有拓扑空间都适用，特别地，在度量空间中，这个抽象的定义还能够引申出一个用“度量”来刻画的更加形象但适用面更窄的定义。

总之，定义之所以抽象，是因为这种抽象已经适合研究问题了，不需要也不应该定义的更加具体。
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比菜鸟强一点点
9楼2011-09-10 16:17:10
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793516625

木虫 (著名写手)
你可以尝试将不同的定义统一起来，然后证明他们是等价的。例如：
拓扑空间是一个集合 X，和一个 包含 X 的子集族 τ，其满足如下公理：

空集和 X 都属于 τ。
 τ 内任意个集合的并集都仍然会属于 τ。
 τ 内任意两个集合的交集也仍然会属于 τ。

设两集合A,B。
则存在集合M=A∪B,N=A∩B,M,N都属于 τ。
同时，M包含着N,亦即M是N的邻域，
所以拓扑空间具有邻域系的性质。
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10楼2012-09-10 20:02:13
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