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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 拓扑空间
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ghw_nit

铁杆木虫 (正式写手)

[求助] 拓扑空间

最近在看函数论，里面涉及到了拓扑空间，给了一大堆的概念以及结论，但是我还是不理解定义了这种概念是要解决什么问题的呢?有人可以给解释一下么。就像我们定义度量空间以后，就可以有连续这样的概念了，之后就可以讨论与之相关的映射了。
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ghw_nit

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1楼 2011-09-08 20:01:07
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793516625

木虫 (著名写手)
你可以尝试将不同的定义统一起来，然后证明他们是等价的。例如：
拓扑空间是一个集合 X，和一个 包含 X 的子集族 τ，其满足如下公理：

空集和 X 都属于 τ。
 τ 内任意个集合的并集都仍然会属于 τ。
 τ 内任意两个集合的交集也仍然会属于 τ。

设两集合A,B。
则存在集合M=A∪B,N=A∩B,M,N都属于 τ。
同时，M包含着N,亦即M是N的邻域，
所以拓扑空间具有邻域系的性质。
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10楼2012-09-10 20:02:13
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ghw_nit

铁杆木虫 (正式写手)
就是要定义拓扑空间的意义是什么呢？
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2楼2011-09-08 20:01:52
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lizhmath

金虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

★ ★
小雨萌萌(金币+2): 谢谢哦~ 2011-09-13 20:22:26
我的理解如下。要研究空间之间的关系，就要考虑映射。通常映射应该有某种“连续性”，
而连续性是一种局部的性质，即在一点的近旁考虑，
所以要有所谓的领域（离得很近的地方）的概念，这些就要拓扑来抽象描述。
在拓扑空间上就可以讨论连续性。比如度量空间就是一种特殊的拓扑空间。
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3楼2011-09-08 20:22:28
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ghw_nit

铁杆木虫 (正式写手)
我现在的疑问是既然我们在度量空间上已经可以讨论“连续性，邻域”这样的概念了，为什么还要引入拓扑空间这样的概念呢，有什么好处么。
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4楼2011-09-08 20:24:42
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