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wuli8

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[交流] 转帖：Cubic以及Trigonal cell弹性常数的计算已有11人参与

原文地址：http://cyh.xjtu.edu.cn/bbs/viewt ... p;extra=&page=1

Cubic和Trigonal晶体的弹性常数个数比较少，计算拟核也比较方便，目前计算弹性常数主要有两个思路，一个是应力－应变曲线关系，此外就是应变能－应变关系，在两种情况下弹性常数都是曲线的一阶导数。在计算过程采用那种关系来拟核弹性常数没有什么确定标准，目前实际上最大的限制是很多DFT计算软件实际上不能把应变结构应变能转换成应力张量形式，如DMOL，Crystal，Wine2K等都不具备这个计算功能，CASTEP是少数直接可以输出应力的软件，因此在CASTEP中采用了Stress－Strain关系来拟和弹性常数：
首先给出MS拟核弹性常数文件的格式：
Elastic constants from Materials Studio: CASTEP
  ===============================================

      Summary of the calculated stresses
      **********************************

  Strain pattern:    1 （应变方式）
  ======================

  Current amplitude: 1 （第一种应变模式，三轴主应变，x－y方向压缩，z方向拉伸，为一个Volume conserving mode）
  Transformed stress tensor (GPa) :
      0.523249       0.000000       0.000000
      0.000000       0.523249       0.000000
      0.000000       0.000000       1.574015

  Current amplitude: 2 （第二种应变强度，三轴主应力模式，Volume Conserving Mode）
  Transformed stress tensor (GPa) :
   -0.468860       0.000000       0.000000
      0.000000    -0.468860       0.000000
      0.000000       0.000000    -1.384910

Stress corresponds to elastic coefficients (compact notation):
8  8  3  0  0  0

as induced by the strain components:
3  3  3  0  0  0

   Stress Cij    value of       value of
   index index    stress          strain
   1       8       0.523249       -0.003000
   1       8       -0.468860       0.003000（Hooke 定理拟核，应力－应变关系）
C (gradient)    :    165.351500 （弹性常数是Stress－strain曲线的一阶倒数，即Gradient）
Stress intercept :    0.027194

   2       8       0.523249       -0.003000
   2       8       -0.468860       0.003000
C (gradient)    :    165.351500
Stress intercept :    0.027194

   3       3       1.574015       -0.003000
   3       3       -1.384910       0.003000
C (gradient)    :    493.154167
Stress intercept :    0.094552

  Strain pattern:    2 (第二种应变模式，三轴主应力＋剪切应力）
  ======================

  Current amplitude: 1
  Transformed stress tensor (GPa) :
      1.367027       0.000000       0.000000
      0.000000       0.352390       0.264719
      0.000000       0.264719       0.469198

  Current amplitude: 2
  Transformed stress tensor (GPa) :
   -1.382814       0.000000       0.000000
      0.000000    -0.399398    -0.258369
      0.000000    -0.258369    -0.455322

Stress corresponds to elastic coefficients (compact notation):
1  7  8  4  0  0

as induced by the strain components:
1  1  1  4  0  0

   Stress Cij    value of       value of
   index index    stress          strain
   1       1       1.367027       -0.003000
   1       1       -1.382814       0.003000
C (gradient)    :    458.306833
Stress intercept :    -0.007893

   2       7       0.352390       -0.003000
   2       7       -0.399398       0.003000
C (gradient)    :    125.298000
Stress intercept :    -0.023504

   3       8       0.469198       -0.003000
   3       8       -0.455322       0.003000
C (gradient)    :    154.086667
Stress intercept :    0.006938

   4       4       0.264719       -0.002121
   4       4       -0.258369       0.002121
C (gradient)    :    123.293024
Stress intercept :    0.003175

  ============================
  Summary of elastic constants
  ============================

id  i  j    Cij (GPa)
1 1  1    458.30683 +/- 0.000
3 3  3    493.15417 +/- 0.000
4 4  4    123.29302 +/- 0.000
7 1  2    125.29800 +/- 0.000
8 1  3    161.59656 +/- 0.000

   =====================================
   Elastic Stiffness Constants Cij (GPa) （劲度张量）
   =====================================

458.30683 125.29800 161.59656    0.00000    0.00000    0.00000
125.29800 458.30683 161.59656    0.00000    0.00000    0.00000
161.59656 161.59656 493.15417    0.00000    0.00000    0.00000
   0.00000    0.00000    0.00000 123.29302    0.00000    0.00000
   0.00000    0.00000    0.00000    0.00000 123.29302    0.00000
   0.00000    0.00000    0.00000    0.00000    0.00000 166.50442

   ========================================
   Elastic Compliance Constants Sij (1/GPa) （顺度张量） SijCij＝I （Uinty）
   ========================================

0.0025481  -0.0004548  -0.0006860 0.0000000 0.0000000 0.0000000
  -0.0004548 0.0025481  -0.0006860 0.0000000 0.0000000 0.0000000
  -0.0006860  -0.0006860 0.0024773 0.0000000 0.0000000 0.0000000
0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0081108 0.0000000 0.0000000
0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0081108 0.0000000
0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0060058

Bulk modulus = 255.08759 (GPa) （体弹性模量）

Compressibility =    0.00392 (1/GPa) （压缩系数）

  Axis Young Modulus       Poisson Ratios （Young模量和Poisison比）
E平均值＝1/3(Ex+Ey+Ez),同理v=1/3(vxy+vxz+vyz)
      (GPa)
X    392.44290    Exy=  0.1785 Exz=  0.2692
Y    392.44290    Eyx=  0.1785 Eyz=  0.2692
Z    403.66400    Ezx=  0.2769 Ezy=  0.2769

Lame constants for isotropic material (GPa) (Lambe各向异性常数和剪切模量Mu）
Lambda = 194.5290, Mu = 137.6968
因此可以看到在拟核这个晶体的弹性常数的时候采用了两种应变模式，每种应变模式计算了两个应变强度下的应力，从而采用线弹性理论计算了与特定应变模式有关的弹性常数。下面来说明应变模式和弹性常数之间的关系：

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1楼 2011-08-04 15:36:29

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wuli8

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通过上述关系可以明显看到如果采用应变模式1，可以拟核C11，C12和C13，C33四个弹性常数，但C44不能得到，因此采用了第二个应变模式，这个应变模式包含了一个纯剪切作用项，主轴应力的施加是为了确保Volume Conserving条件的成立，如果在CASTEP计算过程中没有选择这个限制条件，那么只要施加一个单纯的剪切应变就足够了，无需其他的主轴应力限制。如果具体到特定的应变模式和应力之间的关系，如下所示：

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3楼2011-08-04 15:37:49

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下面给出CASTEP所使用的两个应变模式：

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2楼2011-08-04 15:36:51

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根据上述关系，主要能够计算出特定应变模式下的应力就能得到关于弹性常数的线性方程组，这样可以通过求解线性方程组的方法来计算弹性常数，不过线性方程组获得首先需要对Stress－Strain关系做一阶导数计算。
上面就是CASTEP中采用应变和应力关系计算弹性常数的方法。

[ Last edited by wuli8 on 2011-8-4 at 15:40 ]

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4楼2011-08-04 15:38:21

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另外一个思路就是应变能和应力之间的关系了，首先给几个参考的文献，下面要描述的内容可以在这些文献里面找到详细的解释：
1.First Principles Calculations of Second－ and third－order elastic constants for single crystals of arbitrary symmetry， Phys. Rev B. 75,094105 (2007), Jijun.Zhou et al.
2. Elastic Constants of Hexagonal Transition metals: Theory, Phys. Rev B. 51 (24) 17431 (1995);
3. Theory of Elastic Constants of Cubic Transition Metals and Alloys, Phys.Rev .B, 48(9), 5844 (1993);
为了便于大家进一步了解这部分内容，现将文献提供下载。
弹性常数和应变能之间的关系如图中所示：
首先根据Thurston和Wallace的理论将晶体在应力下的变形定义为初始坐标和终态坐标的导数关系。Lagrangian应变也得到相应的定义，这样我们将晶胞总能量按照应进行Taylor级数的展开。总能量对应变的二阶偏导数就是弹性常数，当然更高阶的导数也是存在的，但在线弹性理论范围内我们只讨论能量的二阶偏导数就可以了，三阶偏导数是非弹性项，这个和谐振子是很相像的，因为能量二阶导数如果是一个抛物线关系，那么可以保证力是线性的。

[ Last edited by wuli8 on 2011-8-4 at 15:42 ]

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5楼2011-08-04 15:40:28

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