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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 计算模拟区 » 第一性原理 » 其他 » 转帖：Cubic以及Trigonal cell弹性常数的计算
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wuli8

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[交流] 转帖：Cubic以及Trigonal cell弹性常数的计算 已有11人参与

原文地址：http://cyh.xjtu.edu.cn/bbs/viewt ... p;extra=&page=1

Cubic和Trigonal晶体的弹性常数个数比较少，计算拟核也比较方便，目前计算弹性常数主要有两个思路，一个是应力－应变曲线关系，此外就是应变能－应变关系，在两种情况下弹性常数都是曲线的一阶导数。在计算过程采用那种关系来拟核弹性常数没有什么确定标准，目前实际上最大的限制是很多DFT计算软件实际上不能把应变结构应变能转换成应力张量形式，如DMOL，Crystal，Wine2K等都不具备这个计算功能，CASTEP是少数直接可以输出应力的软件，因此在CASTEP中采用了Stress－Strain关系来拟和弹性常数：
首先给出MS拟核弹性常数文件的格式：
Elastic constants from Materials Studio: CASTEP
  ===============================================

         Summary of the calculated stresses
         **********************************

  Strain pattern:      1 （应变方式）
  ======================

  Current amplitude: 1 （第一种应变模式，三轴主应变，x－y方向压缩，z方向拉伸，为一个Volume conserving mode）
  Transformed stress tensor (GPa) :
        0.523249        0.000000        0.000000
        0.000000        0.523249        0.000000
        0.000000        0.000000        1.574015

  Current amplitude: 2 （第二种应变强度，三轴主应力模式，Volume Conserving Mode）
  Transformed stress tensor (GPa) :
       -0.468860        0.000000        0.000000
        0.000000       -0.468860        0.000000
        0.000000        0.000000       -1.384910


Stress corresponds to elastic coefficients (compact notation):
   8  8  3  0  0  0  

as induced by the strain components:
   3  3  3  0  0  0  

     Stress    Cij       value of          value of
     index    index       stress            strain
       1        8         0.523249         -0.003000
       1        8        -0.468860          0.003000（Hooke 定理拟核，应力－应变关系）
C (gradient)     :     165.351500 （弹性常数是Stress－strain曲线的一阶倒数，即Gradient）
Stress intercept :       0.027194

       2        8         0.523249         -0.003000
       2        8        -0.468860          0.003000
C (gradient)     :     165.351500
Stress intercept :       0.027194

       3        3         1.574015         -0.003000
       3        3        -1.384910          0.003000
C (gradient)     :     493.154167
Stress intercept :       0.094552

  Strain pattern:      2 (第二种应变模式，三轴主应力＋剪切应力）
  ======================

  Current amplitude: 1
  Transformed stress tensor (GPa) :
        1.367027        0.000000        0.000000
        0.000000        0.352390        0.264719
        0.000000        0.264719        0.469198

  Current amplitude: 2
  Transformed stress tensor (GPa) :
       -1.382814        0.000000        0.000000
        0.000000       -0.399398       -0.258369
        0.000000       -0.258369       -0.455322


Stress corresponds to elastic coefficients (compact notation):
   1  7  8  4  0  0  

as induced by the strain components:
   1  1  1  4  0  0  

     Stress    Cij       value of          value of
     index    index       stress            strain
       1        1         1.367027         -0.003000
       1        1        -1.382814          0.003000
C (gradient)     :     458.306833
Stress intercept :      -0.007893

       2        7         0.352390         -0.003000
       2        7        -0.399398          0.003000
C (gradient)     :     125.298000
Stress intercept :      -0.023504

       3        8         0.469198         -0.003000
       3        8        -0.455322          0.003000
C (gradient)     :     154.086667
Stress intercept :       0.006938

       4        4         0.264719         -0.002121
       4        4        -0.258369          0.002121
C (gradient)     :     123.293024
Stress intercept :       0.003175


  ============================
  Summary of elastic constants
  ============================

id  i  j       Cij (GPa)
1   1  1     458.30683 +/-   0.000
3   3  3     493.15417 +/-   0.000
4   4  4     123.29302 +/-   0.000
7   1  2     125.29800 +/-   0.000
8   1  3     161.59656 +/-   0.000

      =====================================
      Elastic Stiffness Constants Cij (GPa) （劲度张量）
      =====================================

   458.30683   125.29800   161.59656     0.00000     0.00000     0.00000
   125.29800   458.30683   161.59656     0.00000     0.00000     0.00000
   161.59656   161.59656   493.15417     0.00000     0.00000     0.00000
     0.00000     0.00000     0.00000   123.29302     0.00000     0.00000
     0.00000     0.00000     0.00000     0.00000   123.29302     0.00000
     0.00000     0.00000     0.00000     0.00000     0.00000   166.50442

      ========================================
      Elastic Compliance Constants Sij (1/GPa) （顺度张量） SijCij＝I （Uinty）
      ========================================

   0.0025481  -0.0004548  -0.0006860   0.0000000   0.0000000   0.0000000
  -0.0004548   0.0025481  -0.0006860   0.0000000   0.0000000   0.0000000
  -0.0006860  -0.0006860   0.0024773   0.0000000   0.0000000   0.0000000
   0.0000000   0.0000000   0.0000000   0.0081108   0.0000000   0.0000000
   0.0000000   0.0000000   0.0000000   0.0000000   0.0081108   0.0000000
   0.0000000   0.0000000   0.0000000   0.0000000   0.0000000   0.0060058

Bulk modulus    =   255.08759 (GPa) （体弹性模量）

Compressibility =     0.00392 (1/GPa) （压缩系数）

  Axis   Young Modulus        Poisson Ratios （Young模量和Poisison比）
E平均值＝1/3(Ex+Ey+Ez),同理v=1/3(vxy+vxz+vyz)
         (GPa)
   X      392.44290       Exy=  0.1785 Exz=  0.2692
   Y      392.44290       Eyx=  0.1785 Eyz=  0.2692
   Z      403.66400       Ezx=  0.2769 Ezy=  0.2769

Lame constants for isotropic material (GPa) (Lambe各向异性常数和剪切模量Mu）
Lambda =   194.5290,    Mu =   137.6968
因此可以看到在拟核这个晶体的弹性常数的时候采用了两种应变模式，每种应变模式计算了两个应变强度下的应力，从而采用线弹性理论计算了与特定应变模式有关的弹性常数。下面来说明应变模式和弹性常数之间的关系：
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1楼 2011-08-04 15:36:29
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下面给出CASTEP所使用的两个应变模式：
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2楼2011-08-04 15:36:51
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通过上述关系可以明显看到如果采用应变模式1，可以拟核C11，C12和C13，C33四个弹性常数，但C44不能得到，因此采用了第二个应变模式，这个应变模式包含了一个纯剪切作用项，主轴应力的施加是为了确保Volume Conserving条件的成立，如果在CASTEP计算过程中没有选择这个限制条件，那么只要施加一个单纯的剪切应变就足够了，无需其他的主轴应力限制。如果具体到特定的应变模式和应力之间的关系，如下所示：
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3楼2011-08-04 15:37:49
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根据上述关系，主要能够计算出特定应变模式下的应力就能得到关于弹性常数的线性方程组，这样可以通过求解线性方程组的方法来计算弹性常数，不过线性方程组获得首先需要对Stress－Strain关系做一阶导数计算。
上面就是CASTEP中采用应变和应力关系计算弹性常数的方法。


[ Last edited by wuli8 on 2011-8-4 at 15:40 ]
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4楼2011-08-04 15:38:21
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另外一个思路就是应变能和应力之间的关系了，首先给几个参考的文献，下面要描述的内容可以在这些文献里面找到详细的解释：
1.First Principles Calculations of Second－ and third－order elastic constants for single crystals of arbitrary symmetry， Phys. Rev B. 75,094105 (2007), Jijun.Zhou et al.
2. Elastic Constants of Hexagonal Transition metals: Theory, Phys. Rev B. 51 (24)  17431 (1995);
3. Theory of Elastic Constants of Cubic Transition Metals and Alloys, Phys.Rev .B, 48(9), 5844 (1993);
为了便于大家进一步了解这部分内容，现将文献提供下载。
弹性常数和应变能之间的关系如图中所示：
首先根据Thurston和Wallace的理论将晶体在应力下的变形定义为初始坐标和终态坐标的导数关系。Lagrangian应变也得到相应的定义，这样我们将晶胞总能量按照应进行Taylor级数的展开。总能量对应变的二阶偏导数就是弹性常数，当然更高阶的导数也是存在的，但在线弹性理论范围内我们只讨论能量的二阶偏导数就可以了，三阶偏导数是非弹性项，这个和谐振子是很相像的，因为能量二阶导数如果是一个抛物线关系，那么可以保证力是线性的。


[ Last edited by wuli8 on 2011-8-4 at 15:42 ]
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5楼2011-08-04 15:40:28
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下面给出Cubic晶体和Trigonal晶体采用能量－应变法计算弹性常数的一般方法：
Cubic Class：
独立弹性常数个数C11，C12，C44。施加应变方式和对应应变能关系：
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6楼2011-08-04 15:43:06
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对于三方晶体而言独立弹性常数有6个，分别是C11，C12，C13，C14，C33和C44。因此至少需要六个应变模式，我们选取下面六个应变模式；对应的A也给出：
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7楼2011-08-04 15:43:44
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通过Cij计算B， G和E的时候采用的方法大家可以参考Viogt－Reuss－Hill近似，Hill指出通过单晶体力学参数来计算多晶体的力学参量可以采用对Reuss bound和Viogt bound平均的方法。
建议阅读参考文献：
PRB 76 054115
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8楼2011-08-04 15:44:44
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这个问题我觉得是这样子的，如果是计算晶体Cij和P之间的关系，直接把P加到晶体结构上面，优化完以后计算Cij就可以了，这样就能得到dCij/dP关系；如果是如你前面所说的要计算cij和P的关系，那应该就是你说的计算了。
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9楼2011-08-04 15:45:06
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感谢XBAPRS
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10楼2011-08-04 15:45:39
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