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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 概率论与统计 » 一道概率题，求解~~~
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relic

木虫 (正式写手)

[求助] 一道概率题，求解~~~

某男 吹嘘自己交过多位女友， 除了3个星座以外，其他星座的都交过。 请问他有N位女
友的概率是多少？

星座一共有12个，所以N肯定是大于等于9的。请问这个离散分布的概率函数表达式是怎
么样的？

P（N）=？    （N>=9）



=================

有人说：问题等价于N个球放到12个抽屉里，最后9个抽屉里有球的概率。 我按照这个思路给出一共答案：
P（N）=0.75^n        n>=9

但是用matlab算了一下  n从9到10000的P（N）和是0.3003， 不等于1.

所以这个答案可能不对

[ Last edited by relic on 2011-7-12 at 17:01 ]
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1楼2011-07-12 16:52:11
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cars

金虫 (小有名气)
引论
回答本问题需要知道正常情况下一个人有n个女朋友的概率分布，没有此条件没法计算此概率。
极限情况下，比如概率分布为所有人都有10个，则此题的结论是10个。
当然，此概率分布没有一个真实的结果，我们只能对其进行估计，对于不同的分布会得到不同的结果。
在此引论下，我对此题的一种分布进行计算。
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23楼2011-07-22 15:19:46
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cars

金虫 (小有名气)
步骤1：
本题是条件概率
Ai：有i个女朋友，Bj：共有j个星座
本题是，求P(Ai|B9)的分布
需要如下条件才可求解：
1）P(Ai)的分布，即引论所述，需要假设
2）P(B9|Ai)的条件分布，该分布可准确计算，后面详说

然后使用贝叶斯公式
P(Ai|B9)=P(B9|Ai)P(Ai)/(求和k=1到无穷 P(B9|Ak)P(Ak))
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24楼2011-07-22 15:30:30
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cars

金虫 (小有名气)
步骤2：
计算P(Bj|Ai)
因不会用公式，使用如下简写
C(m,n)表示组合
Sum(f(k),n1,n2)表示f对k求和，
P(N,m,n)表示N个女朋友中正好有n个星座的概率，m表示12个星座
P(B1|AN)=m/m^N
P(B2|AN)=2^N-2/m^N
通式，P(Bj|Ai)=Sum( (-1)^(n-k)*C(n,k)*k^N ,1,n )/m^N; 从1至n对k求和
本概率计算过程比较复杂，得到公式来之不易。
已对结果进行验证，且概率对j求和等于1
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25楼2011-07-22 15:40:16
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cars

金虫 (小有名气)
步骤2：
如前所述，P(Ai)的分布只能假设，这个各人想法不一结果不一，此处只为给出方法，
因此我给出一种估计分布，仅作参考
假设没有女朋友(i=0)的概率为q，又假设每增加一个女朋友的难度增加p；
即分布为 P(Ai)=q*p^i；其中q=1-p;
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26楼2011-07-22 15:44:07
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cars

金虫 (小有名气)
结论：
利用前述假设和结论代入贝叶斯公式即可计算。
我利用q=0.1，对共有1个星座和2个星座的计算结果如下
P(B1|Ai)＝0.925(0.9/12)^(i-1);
即其女朋友均为1个星座，则其只有1个女朋友的概率为0.925
P(B2|Ai)=10.5*[(0.9/6)^(i-1)-(0.9/12)^(i-1)];
其中P(B2|A1)=0;P(B2|A2)=0.7875;
对于B3~B12本人没作进一步计算。
因P(Ai)分布不一样结果也不一样，
后面的结果主要还是提供一个方法。
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27楼2011-07-22 15:55:21
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cars

金虫 (小有名气)
补充
P(B9|Ai)的结果
  9   0.009
10   0.031
11   0.059
12   0.085
13   0.103
14   0.110
15   0.108
16   0.099
17   0.086
18   0.072
19   0.058
20   0.046
21   0.035
22   0.027
23   0.020
24   0.015
25   0.011
26   0.008
27   0.005
28   0.004
29   0.003
30   0.002
有此分布，可以对其女朋友个数进行估计
按所述分布，如此人女朋友有9个星座，
有50%可能此人女朋友小于等于15人；
有95%的可能小于等于23人。
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28楼2011-07-22 16:35:22
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