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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 概率论与统计 » 一道概率题，求解~~~
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relic

木虫 (正式写手)

[求助] 一道概率题，求解~~~

某男 吹嘘自己交过多位女友， 除了3个星座以外，其他星座的都交过。 请问他有N位女
友的概率是多少？

星座一共有12个，所以N肯定是大于等于9的。请问这个离散分布的概率函数表达式是怎
么样的？

P（N）=？    （N>=9）



=================

有人说：问题等价于N个球放到12个抽屉里，最后9个抽屉里有球的概率。 我按照这个思路给出一共答案：
P（N）=0.75^n        n>=9

但是用matlab算了一下  n从9到10000的P（N）和是0.3003， 不等于1.

所以这个答案可能不对

[ Last edited by relic on 2011-7-12 at 17:01 ]
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1楼2011-07-12 16:52:11
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relic

木虫 (正式写手)
引用回帖:
Originally posted by feiwch at 2011-07-12 23:07:14:
问题等价于N个球放到12个抽屉里，最后9个抽屉里有球的概率。
P=[c(9,N)*(12-3)^(N-9)]/12^N      N>=9
分子：9个抽屉均有球而3个抽屉均为空的样本点总数。
分母：所有的样本点总数。

这是 水木上的网友的回复，请讨论：

条件不充分吧。

如果没有你说那个信息“除了3个星座以外，其他星座的都交过”，是不是N是任何一个
自然数的概率都相等？

不太可能吧？

你只能算一下，在N是某个数字下，出现“除了3个星座以外，其他星座的都交过”的概
率。如果没有先验概率，即没有这个信息“除了3个星座以外，其他星座的都交过”时
的概率分布，那么无法知道概率分布了。
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4楼2011-07-13 04:20:47
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relic

木虫 (正式写手)
引用回帖:
Originally posted by feiwch at 2011-07-12 23:07:14:
问题等价于N个球放到12个抽屉里，最后9个抽屉里有球的概率。
P=[c(9,N)*(12-3)^(N-9)]/12^N      N>=9
分子：9个抽屉均有球而3个抽屉均为空的样本点总数。
分母：所有的样本点总数。

我觉得问题等价于：12个抽屉，9打开一下，9个抽屉有球， 球个数是n的概率。

P（1）=0
p(2)=0
.
.
.
p(8)=0
p(9)>0
.
.
.
p(n)>0
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5楼2011-07-13 04:24:54
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relic

木虫 (正式写手)
我觉得问题等价于：12个无限大抽屉，打开一看，9个抽屉有球， 球个数是n的概率。

P（1）=0
p(2)=0
.
.
.
p(8)=0
p(9)>0
.
.
.
p(n)>0       n->∞
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6楼2011-07-13 04:29:28
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relic

木虫 (正式写手)
引用回帖:
Originally posted by feiwch at 2011-07-12 23:07:14:
问题等价于N个球放到12个抽屉里，最后9个抽屉里有球的概率。
P=[c(9,N)*(12-3)^(N-9)]/12^N      N>=9
分子：9个抽屉均有球而3个抽屉均为空的样本点总数。
分母：所有的样本点总数。

我觉得你把前提搞错了。求的是P（N）的概率，不是有N个球，9个抽屉有球的概率
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7楼2011-07-13 04:32:20
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relic

木虫 (正式写手)
题目一 、12个抽屉，打开一看，9个有球。请问 球的总数是20个的概率是多大？


题目二、有20个球，12个抽屉，9个有球的概率是多大？


我想知道题目一的答案。 题目二 还是比较常见的概率题目
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8楼2011-07-13 04:55:05
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relic

木虫 (正式写手)
引用回帖:
Originally posted by feiwch at 2011-07-13 08:28:16:
确实有点问题。

问题等价于N个球放到12个抽屉里，最后9个抽屉里有球的概率。这个没有问题。
P=[ c(9,12)*c(9,N)*(12-3)^(N-9)]/12^N      N>=9
分子：9个抽屉均有球而3个抽屉均为空的样本点总数。原来的分 ...

我觉得 你做的这个等价是不对的。
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10楼2011-07-13 09:14:29
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relic

木虫 (正式写手)
引用回帖:
Originally posted by qwerasdf2783 at 2011-07-13 09:30:58:
如果这种模型是对的话，你这种累加方式，从1开始加总概率是到1的，从9开始加，加到几万都到不了1，差别在前面。所以需要从新归一化，即把所有1到8的总概率分摊到其它上去。
但你这种模型只是三个星座没有的算法， ...

水木网友的回答：

如果假定 所有可能出现情况的概率都是相同的
也就是说 x=1G时 n-1个桶里各有1个球 1个桶里有1G-n+1个球 其余桶里没有球的情况
和 x=n时 n个桶里各有1个球 其余桶里没有球的情况 概率是一样的话

那么P(x)=(C(x-1,n-1))/(Σ(x>=n)(C(x-1,n-1)))
显然P(x)分母项求和的值无穷大 当x是一个固定值的时候 P(x)=0
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12楼2011-07-13 13:26:29
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relic

木虫 (正式写手)
有网友 这样说：
这个结论从直观上来看明显是有问题的
但是从数学的推导上是没错的
那就只有是我提出的假设有问题了

我们把这个问题换一个方式再描述一下：

假设有一个发球机 可以发出任意多个球
有m个桶
发球机一次发出一个球 球会随机的落到其中一个桶中
在发球机发出x个球时 恰好有n个桶中有球
问x的概率密度分布
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19楼2011-07-14 09:18:01
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relic

木虫 (正式写手)
这个结论从直观上来看明显是有问题的
但是从数学的推导上是没错的
那就只有是我提出的假设有问题了

我们把这个问题换一个方式再描述一下：

假设有一个发球机 可以发出任意多个球
有m个桶
发球机一次发出一个球 球会随机的落到其中一个桶中
在发球机发出x个球时 恰好有n个桶中有球
问x的概率密度分布




☆─────────────────────────────────────☆
   luheres (鲁赫瑞斯) 于  (Wed Jul 13 14:28:32 2011)  提到:

那么这就从概率问题转变成一个随机过程的问题了
然后










我还没想出可以怎么算。。。




☆─────────────────────────────────────☆
   wenyuxi (wen) 于  (Wed Jul 13 15:53:20 2011)  提到:

这个好像不对吧，就这个问题的概率来说：

1、若球最后落入哪9个抽屉未定，这个式子前面至少有个c(12,9)

2、若球最后落入的9个抽屉已定，思路是先随便取9个球扔进9个抽屉，每抽屉1个，其余的
球可随意扔入9个抽屉，则每球有9种选择。
但是这个里面是有重复的，比如，
情形一：先取出1-9号球扔入1-9号抽屉，然后其余球全部入9号抽屉；
情形二：先取出1-8号球扔入1-8号抽屉，10号球入9号抽屉，其余球入9号抽屉；
这本质上是一种情况，但此运算式中却认为是2种情况。




☆─────────────────────────────────────☆
   wenyuxi (wen) 于  (Wed Jul 13 15:56:53 2011)  提到:

这个答案怎么算出来的？
我取x=3,m=2,n=1,这个式子算出来是1/2
但实际上，2/2^3=1/4



☆─────────────────────────────────────☆
   luheres (鲁赫瑞斯) 于  (Wed Jul 13 16:17:31 2011)  提到:

就你x=3 m=2 n=1的情况
分子有2种情况
分母有4种情况：（0 3）（1 2）（2 1）（3 0）
故而概率是2/4=1/2




☆─────────────────────────────────────☆
   wenyuxi (wen) 于  (Wed Jul 13 16:59:18 2011)  提到:

但4种情况的概率并不是均等的啊




☆─────────────────────────────────────☆
   luheres (鲁赫瑞斯) 于  (Wed Jul 13 17:05:16 2011)  提到:

这个问题提得非常好
如果单纯是扔球模型的话
默认是各种情况出现的概率是相等的
因为x个球都是相同的
如果考虑各种情况出现概率是不同的话
你可以看看我上面写的发球机的模型
那就是一个随机过程的问题了





☆─────────────────────────────────────☆
   luoge (logo) 于  (Wed Jul 13 18:46:25 2011)  提到:

    我觉得按你的思路，把这个问题看做一个随机过程，好像可以解一解。具体规则为：此
男一次认识一位女友，他在本地维护一个计数器，记录已经认识的女友的星座数目，然后此
男不停地认识新女友（认为新女友会被机会均等地分配到十二个星座之一），直到这个计数
器第一次等于9为止。
    那么可以构建一个马尔科夫链，共10个状态S0，S1，...，S9，分别表示计数器等于几
。跳转概率也很清晰。那么原问题就等价为，计算n步能走到S9的概率。在马尔科夫链里，
这个是可以计算，虽然比较麻烦。至于，该男的女友数目的期望值，则等价于，走到第一次
走到S9的期望步数。虽然也很麻烦，但这总归也是可以计算的。
    不太确定，这样搞对不对。what's your idea?



☆─────────────────────────────────────☆
   derekhh (Derek Hao Hu) 于  (Wed Jul 13 19:52:07 2011)  提到:

写了个程序 =0=

#include

double f[100][4096];

int main()
{
    f[0][0]=1;
    double tot=0;
    for(int i=0;i<99;i++)
    {
        double sum=0;
        for(int j=0;j<4096;j++)
        {
            int cnt=0;
            for(int k=0;k<11;k++)
            {
                if(j&(1<                 f[i+1][j|(1<             }
            if(cnt==9)
                sum+=f[j];
        }
        printf("%d %lf\n",i,sum);
        tot+=sum;
    }
    printf("%lf\n",tot);
    return 0;
}


则为：此男一次认识一位女友，他在本地维护一个计数器，记录已经认识的女友的星座
数目，然后此男不停地认识新女友（认为新女友会被机会均等地分配到十二个星座之
一），直到这个计数器第一次等于9为止。
器等于几。跳转概率也很清晰。那么原问题就等价为，计算n步能走到S9的概率。在马
尔科夫链里，这个是可以计算，虽然比较麻烦。至于，该男的女友数目的期望值，则等
价于，走到第一次走到S9的期望步数。虽然也很麻烦，但这总归也是可以计算的。



☆─────────────────────────────────────☆
   derekhh (Derek Hao Hu) 于  (Wed Jul 13 19:53:20 2011)  提到:

0 0.000000
1 0.000000
2 0.000000
3 0.000000
4 0.000000
5 0.000000
6 0.000000
7 0.000000
8 0.000000
9 0.003868
10 0.014505
11 0.031025
12 0.049862
13 0.067061
14 0.079825
15 0.086959
16 0.088604
17 0.085720
18 0.079595
19 0.071506
20 0.062530
21 0.053479
22 0.044900
23 0.037117
24 0.030283
25 0.024435
26 0.019529
27 0.015482
28 0.012188
29 0.009538
30 0.007424
31 0.005753
32 0.004440
33 0.003416
34 0.002619
35 0.002003
36 0.001529
37 0.001164
38 0.000885
39 0.000672
40 0.000509
41 0.000385
42 0.000292
43 0.000220
44 0.000166
45 0.000125
46 0.000095
47 0.000071
48 0.000054
49 0.000040
50 0.000030
51 0.000023
52 0.000017
53 0.000013
54 0.000010
55 0.000007
56 0.000005
57 0.000004
58 0.000003
59 0.000002
60 0.000002
61 0.000001
62 0.000001
63 0.000001
64 0.000001
不知道对不对……



☆─────────────────────────────────────☆
   xanatos (crossPhenixGate) 于  (Wed Jul 13 20:02:50 2011)  提到:

感觉还缺假设，否则所有P(N)可以是相等的




☆─────────────────────────────────────☆
   xanatos (crossPhenixGate) 于  (Wed Jul 13 20:04:12 2011)  提到:

re




☆─────────────────────────────────────☆
   derekhh (Derek Hao Hu) 于  (Wed Jul 13 20:46:25 2011)  提到:

求错了
刚才那个程序k那层循环应该是到12，不是到11
而且我求的东西也不对...
我求的是“该男如果有N个女友，这N个女友恰好占用了9个星座，那么概率是多少..."
和题目的要求也不一样...



☆─────────────────────────────────────☆
   derekhh (Derek Hao Hu) 于  (Wed Jul 13 20:52:40 2011)  提到:

感觉上是
记A="该男有N个女友", B="该男的女友分布满足条件"

因此P(A,B)=P(B|A)P(A)
我们现在只能求出P(B|A)，但是没有任何关于P(A|B)的信息吧，因为无法求出P(A)和
P(B)，所以无法估算P(A|B)?
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20楼2011-07-14 09:19:59
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