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boligege

新虫 (小有名气)


[交流] 【求助】已知三角形的内心为O

已知三角形的内心为O,求证向量AO*|BC|+向量BO|AC|+向量CO|AB|=0向量
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boligege(金币+5): 也很好,谢谢支持 2011-01-19 21:19:40
一般用 I 表示内心。

过 A 点作 CI 的平行线 AF,设 BI 的延长线与 AC 相交于 D ,与 AF 相交于 F。

显然,

(向量AI) + (向量IF) + (向量FA) = (向量0)  ----------------此式记作(1)

另一方面,易见

△AFD ∽ △CID

因此:

|AF| 比 |CI|  =  |AD| 比 |DC|  = |AB| 比 |BC|  (内角平分线性质),

(向量FA) = (向量CI) * |AB|/|BC|  ---此式记作 (2)

又在△BCD中:

|IB| 比 |BC| = |ID| 比 |DC| (内角平分线性质)
=|FD| 比 |DA|
= |IF| 比 |AC| (合比定理)

(向量IF) = (向量BI) * |AC|/|BC| ----- 此式记作(3)

(2)(3) 二式代入 (1) 式,再两边乘 |BC|,搞定。


感谢楼主给我们带来益智的平面几何题,期待楼主的更多作品
3楼2011-01-18 00:05:27
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boligege(金币+8): 清楚明了,真好 2011-01-19 21:18:39
2楼2011-01-17 23:55:41
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yuanke520

禁虫 (著名写手)

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4楼2011-01-18 00:08:27
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