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boligege

新虫 (小有名气)

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[交流] 【求助】已知三角形的内心为O

已知三角形的内心为O，求证向量AO*|BC|+向量BO|AC|+向量CO|AB|=0向量
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1楼 2011-01-17 22:50:46

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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)

boligege(金币+5): 也很好，谢谢支持 2011-01-19 21:19:40

一般用 I 表示内心。

过 A 点作 CI 的平行线 AF，设 BI 的延长线与 AC 相交于 D ，与 AF 相交于 F。

显然，

(向量AI) + (向量IF) + (向量FA) = (向量0)  ----------------此式记作(1)

另一方面，易见

△AFD ∽ △CID

因此：

|AF| 比 |CI|  =  |AD| 比 |DC|  = |AB| 比 |BC|  （内角平分线性质），

(向量FA) = (向量CI) * |AB|/|BC|  ---此式记作 (2)

又在△BCD中：

|IB| 比 |BC| = |ID| 比 |DC| （内角平分线性质）
=|FD| 比 |DA|
= |IF| 比 |AC| （合比定理）
故
(向量IF) = (向量BI) * |AC|/|BC| ----- 此式记作(3)

(2)(3) 二式代入 (1) 式，再两边乘 |BC|，搞定。

感谢楼主给我们带来益智的平面几何题，期待楼主的更多作品

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